A-level 数学/OCR/M3/弹性绳和弹簧

胡克定律和弹性模量

自然长度是指弹性绳或弹簧未受拉伸或压缩时的长度。当弹性绳或弹簧的长度大于自然长度时，会产生张力。此外，当弹簧的长度小于自然长度时，会产生压缩力。为了简化我们的分析，我们使用张力一词来指代这两种类型的力（即张力和压缩力）。此外，我们使用伸长量来指代绳或弹簧长度的变化。因此，压缩弹簧的伸长量为负。

根据胡克定律，伸长量 $x$ 与作用在弹性绳或弹簧上的张力 $T$ 成正比。尽管胡克定律仅在弹性极限内成立，但除非另有说明，否则我们可以安全地假设其适用性。我们可以根据自然长度 $l$ 和弹性模量 $\lambda$ （它是弹性绳或弹簧的属性，与长度无关）写出如下关系式

T={\frac {\lambda }{l}}x

请注意，张力和伸长量方向相同（即变量要么都为正，要么都为负）。这应该是直观的，因为我们考虑的是作用在弹性绳或弹簧上的力（即不是由弹性绳或弹簧施加的力）。

如果连接在弹性绳或弹簧末端的质量产生了伸长量，那么根据牛顿第三定律，弹性绳或弹簧对质量施加的力大小相等，方向相反于其张力。为了说明这一点，让我们考虑右侧的系统。

考虑一个质量为 $m$ 的粒子P，它垂直悬挂在自然长度为 $l$ 、弹性模量为 $\lambda$ 的轻质（即无质量）弹性绳的一端。绳的另一端固定在固定点O上。当粒子处于静止状态时，根据牛顿第二定律，作用在其上的合力为零。因此，粒子的向下重力应与绳子向上作用在粒子上的力（其大小等于绳子的张力）相平衡。

	$mg$	$=T$
$\Rightarrow$	$mg$	$={\frac {\lambda }{l}}x$
$\Rightarrow$	$x$	$={\frac {mgl}{\lambda }}$ ，这是绳子相应的伸长量。

弹性势能

弹性绳或弹簧在伸长（弹簧的情况下也包括压缩）时能够储存能量。这种储存的能量称为弹性势能 (EPE)。弹性绳或弹簧中的弹性势能是由产生所需伸长的功（由外力作用产生）转换而来的。这仅仅是克服弹性绳或弹簧由于其张力而施加的力的功。因此，弹性势能可以通过对张力 $T$ 关于伸长量 $x$ 进行积分来确定。

$\mathrm {EPE}$	$=$ 产生伸长量 $x$ 所做的功
	$=\int _{0}^{x}T\,dy$
	$=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda }{l}}y\,dy$
	$={\frac {\lambda }{l}}\left[{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{0}^{x}$

\Rightarrow

\mathrm {EPE} ={\frac {\lambda }{2l}}x^{2}

总结