A-level 物理（进阶物理）/ 玻尔兹曼因子/ 习题解答

1u = 1.66 x 10⁻²⁷ kg

g = 9.81 ms⁻²

1. 氮气分子的分子量为 28u。如果地球大气层是 100% 的氮气，温度为 18 °C，有多少比例的氮气分子达到 2 km 的高度？

$\epsilon =mgh=28\times 1.66\times 10^{-27}\times 9.81\times 2000=9.12\times 10^{-22}{\mbox{ J}}$

${\frac {n}{n_{0}}}=e^{\frac {-9.12\times 10^{-22}}{1.38\times 10^{-23}\times 291}}=0.797$

因此，79.7% 的氮气分子达到至少 2 km 的高度。

2. 在一个装有氢气（分子量 2u）的盒子里，温度为 0 °C，有多少比例的分子速度大于 5ms⁻¹？

$\epsilon ={\frac {1}{2}}mv^{2}=0.5\times 2\times 1.66\times 10^{-27}\times 5^{2}=4.15\times 10^{-26}{\mbox{ J}}$

${\frac {n}{n_{0}}}=e^{\frac {-4.15\times 10^{-26}}{1.38\times 10^{-23}\times 273}}=0.99999$

（实际上所有分子都是）

3. 如果一半的氢气分子速度至少为 10ms⁻¹，那么氢气的温度是多少？

$\epsilon ={\frac {1}{2}}mv^{2}=0.5\times 2\times 1.66\times 10^{-27}\times 10^{2}=1.66\times 10^{-25}{\mbox{ J}}$

$0.5=e^{\frac {-\epsilon }{kT}}$

$\ln {0.5}=-\ln {2}={\frac {-\epsilon }{kT}}$

$T={\frac {\epsilon }{k\ln {2}}}={\frac {1.66\times 10^{-25}}{1.38\times 10^{-23}\times \ln {2}}}=0.0174{\mbox{ K}}$

（几乎是绝对零度）

4. 一些电离的氢气（电荷 -1.6 x 10⁻¹⁹ C）被放置在均匀的电场中。两极板之间的电势差为 20V，距离为 1m。在 350°K 的情况下，有多少比例的分子距离正极板至少 0.5m（忽略重力）？

$\epsilon =0.5\times 20\times 1.6\times 10^{-19}=1.6\times 10^{-18}{\mbox{ J}}$

${\frac {n}{n_{0}}}=e^{\frac {-1.6\times 10^{-18}}{1.38\times 10^{-23}\times 350}}\approx 0$

它们都会飞到正极板上。