A-level 物理（高级物理）/ 电容器

一个 10 μF 的电容器

如果您将两块导电板彼此靠近放置，并在它们之间放置一个绝缘体（称为电介质），然后对一块板进行正电荷，对另一块板进行负电荷，那么它们之间就会形成一个均匀的电场。由于

$E={\frac {V}{d}}$,

随着两块板之间的距离减小，存储的能量会增加。这种系统被称为电容器 - 它具有存储电荷的电容。电容器的电容 C 为

$C={\frac {Q}{V}}$,

其中 Q 是电容器存储的电荷，V 是两块板之间的电势差。因此，C 是每单位电势差存储在电容器上的电荷量。电容的单位是法拉（F）。就像 1 库仑是一个大量的电荷一样，一个 1F 的电容器每伏特存储大量的电荷。

任何电容器，除非被物理改变，都具有恒定的电容。如果它未充电，则 Q = 0，因此它两端的电势差为 0。如果将直流电源连接到电容器，我们会在电容器两端产生电压，导致电子在电路中移动。这会在电容器上产生一个等于 CV 的电荷。如果我们然后断开电源，电荷会保留在那里，因为它无处可去。电容器两端的电势差导致电荷“想要”跨越电介质，产生火花。但是，在两块板之间的电压达到某个水平（电容器的击穿电压）之前，它无法做到这一点。因此，电荷被存储。

如果存储了电荷，则可以通过重新连接电路释放它。如果我们将一根电阻可忽略不计的导线连接到电容器的两端，所有电荷都会流回它来自的地方，因此电容器上的电荷将再次几乎瞬时变为 0。但是，如果我们在电容器串联中放入一个电阻器（或另一个具有电阻的元件），电荷的流动（电流）会变慢，因此电容器上的电荷不会立即变为 0。相反，我们可以使用电荷为相机闪光灯等元件供电。

指数衰减

电流是电荷的流动速率。但是，电流由以下公式给出

$I={\frac {V}{R}}$

但是，在电容器中，电压取决于电容器中剩余的电荷量，因此电流是电容器中剩余电荷的函数。电荷变化率取决于电荷本身的值。因此，我们应该期望找到指数关系

$Q=Q_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}$,

其中 R 是与电容器串联的电阻器的电阻，Q 是电容器在时间 t 时所带的电荷，而 Q₀ 是电容器在 t = 0 时所带的电荷。由于 Q = IΔt

$I\Delta t=I_{0}\Delta te^{-{\frac {t}{RC}}}$

$I=I_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}$,

其中 I 是在时间 t 时流过的电流，而 I₀ 是在 t = 0 时流过的初始电流。由于 V = IR

$V=V_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}$

电阻器在电路中消耗的功率为 IV，所以

$P=I_{0}V_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}e^{-{\frac {t}{RC}}}=P_{0}e^{-{\frac {2t}{RC}}}$

能量

电容器存储的能量 E 定义为

$E=\int _{0}^{V}Q\;dV$

换句话说，它是电荷与电势差图的面积。电荷与电势差成正比（Q = CV），因此图下的面积是底边为 V、高度为 Q 的三角形的面积。您可以用数学方法证明这一点

$E=\int _{0}^{V}CV\;dV=C\left[{\frac {V^{2}}{2}}\right]_{0}^{V}={\frac {1}{2}}CV^{2}$

因为 Q = CV

$E={\frac {1}{2}}QV$

电路

电容器的电路符号是 。一个简单的电路，其中一个电容器与一个电阻串联，一个理想电流表（无电阻），与一个理想电压表（无限电阻）并联，如下所示

在所示位置，电容器正在充电。如果将开关置于另一位置，电容器将通过电阻以指数方式放电。在这个电路中，电容器会立即充电，因为没有电阻来减缓它的速度。实际上，电池内部会有电阻，这意味着电容器会以指数方式充电。

如果将电容器并联放置，它们将作为一个电容器，其电容等于所有单个电容器的电容之和。如果将电容器串联放置，每个电容器之间的距离会导致虚构的合成电容器 ΣC 的电容由以下公式给出：

${\frac {1}{\Sigma C}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}+...+{\frac {1}{C_{n}}}$

问题

1. 一个 2 mF 的电容器连接到一个 10V 的直流电源。电容器可以存储多少电荷？

2. 这个电容器存储的最大能量是多少？

3. 将电容器与一个 5Ω 的电阻串联，并充满电。电容器中的电荷减少到 1 mC 需要多长时间？

4. 经过这段时间后，电容器中存储了多少能量？

5. 以下电容器网络的等效电容器的电容是多少？

解答