A-level 物理学 (高级物理)/动量守恒/解答

1. 一个质量为 0.5 kg 的球以 3ms⁻¹ 的速度与一个静止的质量为 0.6 kg 的球碰撞。如果静止的球以 2ms⁻¹ 的速度飞出，那么第一个球的新速度是多少？

$0.5\times 3=0.5v+(0.6\times 2)$

$1.5=0.5v+1.2$

$0.5v=0.3$

$v=0.6{\mbox{ ms}}^{-1}$

2. 两个球沿相反方向运动，速度分别为 5ms⁻¹ 和 10ms⁻¹。它们发生碰撞，并沿相反方向以 7.5ms⁻¹ 的新速度飞出。如果第一个球的质量为 1.25 kg，那么第二个球的质量是多少？

$(5\times 1.25)+(-10m)=(-7.5\times 1.25)+(7.5m)$

$6.25-10m=7.5m-9.375$

$17.5m=15.625$

$m=0.893{\mbox{ kg}}$

3. 两个质量相等的球发生完全弹性碰撞。其中一个球是静止的。会发生什么？

由于动量必须守恒

$mu=mv_{1}+mv_{2}$

$u=v_{1}+v_{2}$ (1)

由于动能必须守恒

${\frac {mu^{2}}{2}}={\frac {m{v_{1}}^{2}}{2}}+{\frac {m{v_{2}}^{2}}{2}}$

$u^{2}={v_{1}}^{2}+{v_{2}}^{2}$

将公式 (1) 中 u 的值代入

$(v_{1}+v_{2})^{2}={v_{1}}^{2}+{v_{2}}^{2}$

${v_{1}}^{2}+2v_{1}v_{2}+{v_{2}}^{2}={v_{1}}^{2}+{v_{2}}^{2}$

$2v_{1}v_{2}=0$

因此，v₁ 或 v₂ 为 0。根据公式 (1)，如果 v₁ 为零，则 v₂ = u，反之亦然。但是，v₁ 不能与 u 相同，因为这意味着第一个球必须穿过第二个球！因此，唯一的物理解是第一个球停止，第二个球继续以第一个球的原始速度运动。

4. 一个粒子爆炸成两个质量分别为 1 kg 和 2 kg 的粒子。1 kg 的粒子以 45 ms⁻¹ 的速度运动。另一个粒子以什么速度运动？

$0=(1\times 45)+2v$

$2v=-45$

$v=-22.5{\mbox{ ms}}^{-1}$

即与 1 kg 粒子运动方向相反。

5. 一个 3 kg 的球以 3 ms⁻¹ 的速度运动，与一个 5 kg 的球以 -5 ms⁻¹ 的速度发生碰撞。碰撞是完全弹性的。这两个球的新速度是多少？

由于动量必须守恒

$(3\times 3)+(5\times -5)=3v_{1}+5v_{2}=-16{\mbox{ kgms}}^{-1}$ (1)

由于动能必须守恒

${\frac {3\times 3^{2}}{2}}+{\frac {5\times (-5)^{2}}{2}}={\frac {3\times {v_{1}}^{2}}{2}}+{\frac {5\times {v_{2}}^{2}}{2}}$

$3{v_{1}}^{2}+5{v_{2}}^{2}=152$

从 (1)

$v_{2}={\frac {-16-3v_{1}}{5}}$

$3{v_{1}}^{2}+5\left({\frac {-16-3v_{1}}{5}}\right)^{2}=152$

$3{v_{1}}^{2}+5\left({\frac {9{v_{1}}^{2}+96v_{1}+256}{25}}\right)=152$

$3{v_{1}}^{2}+{\frac {9{v_{1}}^{2}+96v_{1}+256}{5}}=152$

$15{v_{1}}^{2}+9{v_{1}}^{2}+96v_{1}+256=760$

$24{v_{1}}^{2}+96v_{1}-504=0$

${v_{1}}^{2}+4v_{1}-21=0$

$(v_{1}+7)(v_{1}-3)=0$

因此，v₁ 要么为 -7，要么为 3 ms⁻¹。

如果 v₁ = -7ms⁻¹，根据 (1)

$-21+5v_{2}=-16$

$5v_{2}=5$

$v_{2}=1{\mbox{ ms}}^{-1}$

如果 v₁ = 3ms⁻¹

$9+5v_{2}=-16$

$5v_{2}=-25$

$v_{2}=-5{\mbox{ ms}}^{-1}$

最后一个解是不符合物理实际的，因为它需要球体彼此穿过。因此，v₁ = -7ms⁻¹ 且 v₂ = 1ms⁻¹

6. 一个球与墙壁碰撞，并以相同的速度反弹。为什么墙壁没有移动？

设墙壁的质量为 M，球的质量为 m

$mu=Mv_{wall}-mu$

$2mu=Mv_{wall}$

$v_{wall}={\frac {2mu}{M}}$

墙壁的质量很大。当 M 趋于无穷大时，因此，v_wall 趋于 0。