A 级物理学（高等物理学）/简谐运动中的能量/习题解答

1. 一个 10 克的物体使弹簧伸长了 5 厘米。弹簧储存了多少能量？

重力势能完全转换为弹性势能

重力势能 = 质量 x 重力 x 高度

GPE $=0.01m\times 0.05kg\times 9.8Nkg^{-1}=4.9\times 10^{-3}J$

2. 一个 500 克的物体在一个弹簧 (k=100) 上被拉伸了 0.2 米，并在一个空无一物的宇宙中开始振荡。它达到的最大速度是多少？

${\frac {1}{2}}mv_{max}^{2}={\frac {1}{2}}kx_{max}^{2}$

$v_{max}^{2}={\frac {kx_{max}^{2}}{m}}$

$v_{max}=x_{max}{\sqrt {\frac {k}{m}}}=0.2\times {\sqrt {\frac {100}{0.5}}}=2.83{\mbox{ ms}}^{-1}$

3. 另一个 500 克的物体在另一个弹簧上，在另一个空无一物的宇宙中被拉伸了 0.5 米，并开始振荡。如果它达到 15 米/秒的最大速度，弹簧的弹性系数是多少？

${\frac {1}{2}}mv_{max}^{2}={\frac {1}{2}}kx_{max}^{2}$

$k={\frac {mv_{max}^{2}}{x_{max}^{2}}}={\frac {0.5\times 15^{2}}{0.5^{2}}}=450{\mbox{ Nm}}^{-1}$

4. 绘制一个弹簧上物体的动能和弹性势能图（忽略重力）。

$E_{e}\propto \cos ^{2}\omega t$

$E_{k}\propto \sin ^{2}\omega t$

简谐运动

5. 使用 x 和 v 的三角公式推导出一个关于在弹簧上振荡的物体的总储能的方程，忽略重力和空气阻力，该能量相对于时间是恒定的。

$x=A\cos {\omega t}$

$v=-A\omega \sin {\omega t}$

将这些代入总能量方程

$\Sigma E={\frac {1}{2}}(kx^{2}+mv^{2})={\frac {1}{2}}(k(A\cos {\omega t})^{2}+m(-A\omega \sin {\omega t})^{2})={\frac {1}{2}}(kA^{2}\cos ^{2}{\omega t}+mA^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}{\omega t})={\frac {A^{2}}{2}}(k\cos ^{2}{\omega t}+m\omega ^{2}\sin ^{2}{\omega t})$

我们知道

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

因此

$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$

通过代入

$\Sigma E={\frac {A^{2}}{2}}(k\cos ^{2}{\omega t}+{\frac {mk}{m}}\sin ^{2}{\omega t})={\frac {A^{2}}{2}}(k\cos ^{2}{\omega t}+k\sin ^{2}{\omega t})={\frac {kA^{2}}{2}}(\cos ^{2}{\omega t}+\sin ^{2}{\omega t})={\frac {kA^{2}}{2}}$