A-level 物理 (高级物理)/指数关系

x = ae^bt 的图形，其中 b 为正。

许多事物都受到指数关系的控制。我们将要处理的指数关系具有以下形式

$x=ae^{bt}$,

其中 t 为时间，x 为变量，a 和 b 为常数。e 只是一个数字，虽然是一个非常特殊的数字。它是一个无理常数，就像 π 一样。e 20 位小数为 2.71828182845904523536。但是，只需在计算器上找到 e（或 exp）按钮就容易多了。

e^t 的反函数是自然对数，记为 ln t

$\ln t=\log _{e}t$

x = e^-bt 的图形，显示了 b 的几个不同值。

增长和衰减

当 b 为正时，指数函数迅速增加。这很好地代表了某些变量的增长。当 b 为负时，指数函数减小，在接近 t 轴时趋于平坦。这代表了某些变量的衰减。

现实世界中的指数关系

当变量的变化率取决于变量本身的值时，就会出现指数关系。你应该记住这个定义，并理解它。让我们考虑一些例子

一个装有细菌生长的培养皿。

人口增长

考虑一个装满琼脂培养基（细菌的食物）的培养皿，里面有一些细菌。这些细菌会繁殖，因此，随着时间的推移，琼脂培养基上的细菌数量会增加。但是，每个细菌都不关心周围是否有其他细菌。它将以相同的速度继续制造更多细菌。因此，随着细菌总数的增加，它们的繁殖速度也会增加。这是一种具有正 b 值的指数关系。

当然，这个模型是有缺陷的，因为在现实中，细菌最终会吃掉所有的琼脂培养基，因此关系将不再是指数关系。

清空水箱

如果你用一个大水箱装满水，然后在底部开个洞，一开始水会流得很快。但是，随着水箱的清空，水的压力会减小，因此流速也会减小。水箱中水量的变化率取决于水箱中的水量。这是一种具有负 b 值的指数关系 - 它是一种指数衰减。

冷却

热物体比温物体冷却得快。因此，当物体冷却时，温度从物体流出到周围环境的速度会降低。牛顿将此表达为指数关系（称为牛顿冷却定律）

$T_{t}=T_{env}+(T_{0}-T_{env})e^{-rt}$,

其中 T_t 为 t 时刻的温度，T₀ 为 t = 0 时刻的温度，T_env 为冷却物体周围环境的温度，r 为正常数。注意这里 a 等于 (T₀ - T_env) - 但 a 仍然是常数，因为 T₀ 和 T_env 都是常数。r 前面的负号表明这是一个指数衰减 - 物体的温度趋于环境温度。我们添加 T_env 的原因仅仅是因为我们不希望温度衰减到 0（无论我们使用什么温度单位）。相反，我们希望它衰减到环境温度。

数学推导

我们已经说过，当变量的变化率取决于变量本身的值时，就会出现指数关系。如果我们将此转化为代数，我们将得到以下结果

${\frac {dx}{dt}}\ =ax$ ，其中 a 为常数。

通过分离变量

$dx=axdt$

${\frac {1}{x}}dx=adt$

$\int {\frac {1}{x}}dx=\int adt$

$\ln x=at+c$ （其中 c 为积分常数）

$x=e^{at+c}=e^{at}e^{c}$

如果我们令 b = e^c（b 是一个常数，因为 e^c 是一个常数）

$x=be^{at}$

问题

1. 简化牛顿冷却定律，适用于将一个温热的物体放入一个即将结冰的大水箱中的情况。温度单位使用摄氏度。

2. 一个温度为 40 °C 的物体在 30 秒后会是什么温度？（假设 r=10⁻³ s⁻¹。）

3. 一具尸体在图书馆被发现（如阿加莎·克里斯蒂的小说）。发现时间是早上 8 点。图书馆的温度保持在 20 °C，持续了 10 分钟。在这 10 分钟内，尸体的温度从 25 °C 降至 24 °C。健康人的体温为 36.8 °C。请问该人是在什么时候遇害的？

4. 假设维基教科书上的页面数量 p 可以用指数关系来建模。令吸引编辑所需的平均页面数量为 a，而每个编辑每年创建的新页面数量为 z。推导出一个方程，用维基教科书创建以来的年数 t 来表示 p。

5. 维基教科书是在 2003 年年中创建的。6 年后应该有多少个页面？（假设 a = 20，z = 10 yr⁻¹。）

6. 2009 年年中，维基教科书上的实际页面数量为 35,148。这个模型存在什么问题？比如到 2103 年可能会出现什么问题？

解答