A 级物理（高级物理）/指数关系/解答

1. 简化牛顿冷却定律，用于将一个温暖的物体放入一个即将结冰的大水箱中的情况。用 °C 测量温度。

牛顿冷却定律指出 $T_{t}=T_{env}+(T_{0}-T_{env})e^{-rt}$

水的冰点是 0 °C，因此，如果我们用 °C 测量 T，则 T_env = 0

$T_{t}=0+(T_{0}-0)e^{-rt}$

$T_{t}=T_{0}e^{-rt}$

2. 一个温度为 40 °C 的物体在 30 秒后会是什么温度？（取 r=10⁻³ s⁻¹。）

$T_{t}=T_{0}e^{-rt}=40\times e^{-10^{-3}\times 30}=38.8$ °C

3. 一具尸体在图书馆被发现（如阿加莎·克里斯蒂所述），时间是早上 8 点。图书馆的温度保持在恒定的 20 °C，持续了 10 分钟。在这 10 分钟内，尸体的温度从 25 °C 降至 24 °C。健康人体的体温是 36.8 °C。受害者是在什么时候遇害的？

首先，我们必须计算 r

$24=20+(25-20)e^{-10r}$

$4=5e^{-10r}$

$e^{-10r}=0.8$

$-10r=\ln {0.8}$

$r={\frac {\ln {0.8}}{-10}}=0.0223{\mbox{ minute}}^{-1}$

然后，计算 t - 这是谋杀时间和早上 8 点之间的时间

$25=20+(36.8-20)e^{-0.0223t}$

$5=16.8e^{-0.0223t}$

$e^{-0.0223t}={\frac {5}{16.8}}$

$-0.0223t=\ln {\frac {5}{16.8}}$

$t={\frac {\ln {\frac {5}{16.8}}}{-0.0223}}=54{\mbox{ minutes}}$

因此，谋杀发生在早上 7:06。

4. 假设维基教科书上的页面数 p 可以用指数关系来建模。设吸引一位编辑所需的平均页面数为 a，而一位编辑每年平均创建的新页面数为 z。推导出一个表达式，用维基教科书创建后的年数 t 来表示 p。

设 n 为编辑人数。

$n={\frac {p}{a}}$

${\frac {dp}{dt}}=nz=z{\frac {p}{a}}$

$dp=z{\frac {p}{a}}dt$

$\int {\frac {1}{p}}dp=\int {\frac {z}{a}}dt$

$\ln {p}={\frac {zt}{a}}+c$ （其中 c 是积分常数）

$p=e^{{\frac {zt}{a}}+c}=e^{\frac {zt}{a}}e^{c}=ke^{\frac {zt}{a}}$ （其中 k 是一个常数 - k = e^c）

一定有一页是第一页，它标志着 t = 0 的时刻，所以

$1=ke^{{\frac {z}{a}}\times 0}=ke^{0}=k$

因此

$p=e^{\frac {zt}{a}}$

5. 维基教科书创建于 2003 年中旬。六年后应该有多少页？（取 a = 20，z = 10 yr⁻¹。）

$p=e^{\frac {zt}{a}}=e^{\frac {10\times 6}{20}}=e^{3}=20$

6. 2009 年中旬，维基教科书的实际页面数为 35,148 页。这个模型有什么问题？例如，到 2103 年，可能会出现什么问题？

该模型有两个关键问题

• 我们已经估算了常数的值。这些应该通过统计方法确定。
• 我们假设这些常数是恒定的。实际上，随着维基教科书内容的增加，越来越多的人认为“维基教科书已经包含了这些内容，所以我不会添加任何内容”。这意味着 z 和 a 都会随时间变化。我们的指数模型只适用于较短的时间段。每个时间段的常数值都不同。

在未来，例如 2103 年，这些常数将发生如此大的变化，以至于变得毫无用处。问题 5 展示了它们在短短 6 年内的变化程度——在整整一个世纪内，它们的变化程度一定更大！