A-level物理（高级物理）/万有引力场/解答

G = 6.67 x 10⁻¹¹ m³kg⁻¹s⁻²

1. 一个15 kg的物体重量为8000N。此时重力场强度是多少？

$g={\frac {F_{grav}}{m}}={\frac {8000}{15}}=533{\mbox{ Nkg}}^{-1}$

2. 绘制重力场强度与距离的关系图。

由于重力场强度与重力成正比，这两个图看起来非常相似。

3. 太阳（质量2 x 10³⁰kg）对地球（质量6 x 10²⁴kg，平均轨道半径15 x 10¹⁰m）的重力场强度是多少？

$g={\frac {GM}{r^{2}}}={\frac {6.67\times 10^{-11}\times 2\times 10^{30}}{(15\times 10^{10})^{2}}}=5.93{\mbox{ mNkg}}^{-1}$

4. 重力加速度在垂直距离d上的变化是多少？

$\Delta g={\frac {GM}{(r+d)^{2}}}-{\frac {GM}{r^{2}}}=GM\left({\frac {1}{(r+d)^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}\right)={\frac {GM(r^{2}-(r+d)^{2})}{r^{2}(r+d)^{2}}}={\frac {GM(r^{2}-r^{2}-2rd-d^{2})}{r^{2}(r+d)^{2}}}={\frac {-GMd(2r+d)}{r^{2}(r+d)^{2}}}$

5. 从地球表面向上移动多远才能注意到重力场强度1Nkg⁻¹的变化？（地球半径为6400 km。）

$1={\frac {GMd(2r+d)}{r^{2}(r+d)^{2}}}$

$GMd(2r+d)=r^{2}(r+d)^{2}$

$2GMrd+GMd^{2}=r^{2}(r^{2}+2rd+d^{2})=r^{4}+2r^{3}d+r^{2}d^{2}$

$d^{2}(r^{2}-GM)+dr(2r^{2}-2GM)+r^{4}=0$

使用二次方程公式

$d={\frac {2GMr-2r^{3}\pm {\sqrt {r^{2}(2r^{2}-2GM)^{2}-4r^{4}(r^{2}-GM)}}}{2(r^{2}-GM)}}={\frac {2GMr-2r^{3}\pm {\sqrt {4r^{6}-8GMr^{4}+4G^{2}M^{2}r^{2}-4r^{6}+4GMr^{4}}}}{2(r^{2}-GM)}}$

$={\frac {2GMr-2r^{3}\pm r{\sqrt {4r^{4}-8GMr^{2}+4G^{2}M^{2}-4r^{4}+4GMr^{2}}}}{2(r^{2}-GM)}}$

这看起来很糟糕。如果你代入数值，你会得到

$d={\frac {4.598272\times 10^{2}1\pm 4.853341552\times 10^{21}}{-7.1848\times 10^{14}}}$

由于我们想要一个负的d（因为我们在一开始就忽略了减号）

$d={\frac {4.598272\times 10^{2}1+4.853341552\times 10^{21}}{-7.1848\times 10^{14}}}=-13155{\mbox{ km}}$

不过，我必须承认，这里有很多出错的可能性，所以这个答案几乎肯定是不正确的。如果你想仔细检查一下，尽管来吧！

[*] 解答 

g'=g-1=9.8-1=8.8N/kg g=GM/(R+d)^2 => $(R+d)^{2}=GM/g'=>R+d=sqrt(GM/g')=>d=sqrt(GM/g')-R$
d=349.96 千米

--Sjlegg (讨论) 2009年4月23日 (四) 14:18 (UTC)