A-level 物理学（进阶物理学）/万有引力

万有引力的本质是一个深刻的问题。是什么导致了万有引力的产生，被认为是物理学中最大的谜团之一。我们都应该熟悉万有引力使物体具有重量的事实，这就是为什么苹果会掉到地球上的原因。事实上，任何具有质量的物体都会对任何其他具有质量的物体施加万有引力。地球对苹果施加拉力，苹果也同样对地球施加拉力。

万有引力不仅让我们可以描述最终会落到地面的物体的运动轨迹。它还以惊人的精度描述了行星的运动。它可以预测太阳蚀的日期和时间，提前几百年就可以预测。

因此，两个物体之间的万有引力公式为

$F_{grav}={\frac {GMm}{r^{2}}}$ ,

其中 r 是两个球体之间的距离，G 是万有引力常数。实验表明 G = 6.67 x 10⁻¹¹ Nm²kg⁻²。

这个方程式更好地解释了我们已经知道的一些事实。我们应该从 GCSE 科学中记住，力与距离的平方成反比。它解释了为什么随着质量的增加，地球上的重量也会增加。

请注意，这个公式没有说明万有引力的来源。它只描述了万有引力的作用。然而，它非常完美地描述了万有引力。

万有引力不仅仅是物体撞击地球。然而，它确实与坠落有很大关系。

我们还应该意识到，从圆周运动中我们知道

$F={\frac {mv^{2}}{r}}$ ,

其中 F 是向心力，m 是物体的质量，r 是两个物体之间的距离，v 是物体的速度，垂直于向心力，因此在轨道的任何一点都与轨道相切。

物体内部的万有引力

在一个近似球形的物体（如地球）内部，可以通过几何方法证明，由物体所在半径以外所有质量产生的万有引力的影响可以忽略不计，因为它们全部相互抵消了。因此，我们只需要考虑物体所在半径内部的质量。物体的密度 ρ 由以下方程式给出

$\rho ={\frac {M}{V}}$ ,

其中 M 是质量，V 是体积。因此

$M=\rho V$

如果我们将球体的体积代入 V

$M={\frac {4}{3}}\pi \rho r^{3}$

如果我们将这个质量代入上面给出的万有引力公式

$F_{grav}={\frac {-Gm{\frac {4}{3}}\pi \rho r^{3}}{r^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi G\rho mr$

换句话说，在均匀质量的球体内部，万有引力与物体到球心距离成正比。顺便说一下，这会导致一个简单的简谐振荡器，如右图所示。这意味着万有引力与距离球心距离的图形，在一个密度均匀的球体中是这样的

1. 木星绕太阳运行的半径约为 7.8 x 10¹¹m。木星的质量为 1.9 x 10²⁷kg，太阳的质量为 2.0 x 10³⁰kg。作用在木星上的万有引力是多少？作用在太阳上的万有引力是多少？

2. 太阳对某个距离的物体施加的力为 10⁶N。该物体移动到太阳一半的距离。现在太阳对该物体施加的力是多少？

3. 当两个 1 kg 的重物相距 5 cm 时，它们相互施加的万有引力大小是多少？

4. 地球的半径为 6360 km，质量为 5.97 x 10²⁴kg。作用在你身体顶部的 1 kg 物体上的万有引力，与作用在你头部和脚部的 1 kg 物体上的万有引力之间有什么区别？(假设你的身高为 2 米。)