A-level 物理（进阶物理）/万有引力势能

如果你将一个球扔到空中，你赋予了它动能。然后，由于地球引力场对它的影响，球会减速。但是，我们知道能量既不能被创造也不能被消灭。你赋予球的动能转化为重力势能。你把球扔得离地球越远，它在回落过程中产生的动能就越大。但是，要产生动能，必须有加速度。如果有加速度，就必须有力的作用。

你应该已经知道能量等于移动物体一段距离 Δx 所做的功。

$\Delta E_{grav}=F\Delta x$

所做的功由施加的力乘以物体在力的方向上移动的距离给出。要使物体克服重力移动，向上施加的力必须等于重力作用在物体上的向下力 mg。因此，如果我使物体克服重力移动一段距离 Δx，所做的功由下式给出：

$\Delta E_{grav}=mg\Delta x$

通常称此 x 为高度，因此你经常会看到 E_grav=mgh。增量符号很重要。它们意味着我移动物体的距离 x 无所谓 - 我可以决定重力势能为 0 的点，这使得计算变得容易。

这个简单公式的难点在于 g 在长距离内并不保持不变。

$g={\frac {-GM}{r^{2}}}$

因此，在距离 Δr 上，x 变为 r，所以

$E_{grav}={\frac {-GMmr}{r^{2}}}={\frac {-GMm}{r}}$

尽管这个“推导”在某种程度上令人信服，但它实际上是无效的。对这个公式的正确推导将使用微积分（见下文）。“距离 r”通常非常大，而万有引力在这样的距离上不会保持不变。然而，上述公式 $E_{grav}=mg\Delta x$ 确实假设万有引力是恒定的，因此在这种情况下的公式是无效的。

所以，如果你处理的是长距离上的重力势能，请使用这个公式。如果你处理的是短距离上的重力势能，例如地球表面的斜坡，其中 g=9.81ms⁻²，请使用 E_grav = mgh。

图表

我们刚才做了一些偷偷摸摸的事情。你可能没有注意到。让我们看看当我们将万有引力 F 关于 r 从 r 到 ∞ 进行积分时会发生什么。

$\int _{r}^{\infty }{\frac {-GMm}{r^{2}}}dr=\left[{\frac {GMm}{r}}\right]_{r}^{\infty }={\frac {GMm}{\infty }}-{\frac {GMm}{r}}$

由于将任何东西除以无穷大都得到几乎为 0 的结果

$\int _{r}^{\infty }Fdr=-{\frac {GMm}{r}}=E_{grav}$

因此

${\frac {dE_{grav}}{dr}}=F$

所以，如果你有一个重力势能对半径的图形，则图形的斜率就是万有引力。如果你有一个万有引力对半径的图形，则图形在任何一点和 F 轴之间的面积就是该点的重力势能。图形在任意两点之间的面积就是它们之间的重力势能差。

1. 一个球从 3 米高的光滑斜坡上滚下。它到达底部时的速度是多少？

2. 在一个空旷的宇宙中，两个质量为 10²⁵ 千克的行星相距 10¹² 米。这两个行星的半径都为 10⁶ 米。它们碰撞时的速度是多少？

3. 一辆 2000 千克的汽车必须至少做多少功才能爬上一个 100 米高的山坡？

4. 行星在椭圆轨道上靠近恒星时，其速度如何变化？