A-level 物理 (进阶物理)/万有引力势能/习题解答

1. 一个球体从一个 3 米高的光滑斜坡上滚下。它在底部时的速度是多少？

$mgh={\frac {1}{2}}mv^{2}$

$gh={\frac {1}{2}}v^{2}$

$v={\sqrt {2gh}}={\sqrt {2\times 9.81\times 3}}=7.67{\mbox{ ms}}^{-1}$

2. 在一个除了两个行星之外空无一物的宇宙中，两个质量为 10²⁵ 千克的行星相距 10¹² 米。这两个行星的半径都为 10⁶ 米。它们碰撞时速度是多少？

设 $M_{1}$ 为行星 1 的质量，$M_{2}$ 为行星 2 的质量。两者都是 $1\times 10^{25}$ 千克

假设行星 1 静止，行星 2 正在朝它加速（相对运动）。

设 D = $1\times 10^{12}$ 米 = 两个行星中心之间的距离。设 d = $1\times 10^{6}$ 米 = 行星的半径。

$\int _{2d}^{D}{\frac {GM_{1}M_{2}}{r^{2}}}dr=$ 万有引力势能

$\left[{\frac {-GM_{1}M_{2}}{r}}\right]_{2d}^{D}=-GM_{1}M_{2}\left[{\frac {1}{D}}-{\frac {1}{2d}}\right]={\frac {1}{2}}M_{2}v^{2}$

${\sqrt {-2GM_{1}\left[{\frac {1}{D}}-{\frac {1}{2d}}\right]}}=v=25,800ms^{-1}$

3. 一辆 2000 千克的汽车至少需要做多少功才能开上一个 100 米高的山坡？

$mgh=2000\times 9.81\times 100=1.962{\mbox{ MJ}}$

4. 行星在椭圆轨道上运行时，当它靠近恒星时，它的速度如何变化？

当它靠近恒星时，它损失了万有引力势能，因此获得了动能，所以它的速度增加。