A-level 物理（进阶物理）/动能理论

以下公式总结了理想气体动能理论的许多内容

$pV={\frac {1}{3}}Nm{\bar {c^{2}}}$,

其中，p 是气体的压强，V 是其体积，N 是分子的数量，m 是每个分子的质量，${\bar {c^{2}}}$ 是分子的均方根速度。如果你知道所有分子的速度，你可以通过将每个速度平方，然后取所有平方速度的平均值来计算均方根速度。

推导

一些快乐的理想气体粒子

这个公式可以通过将气体模拟为大量相互碰撞的粒子来从第一性原理推导出来。这些粒子具有动量 p = mc。如果我们将它们放在体积为 V、长度为 l 的盒子中，它们撞击盒子壁时动量的变化为

$\Delta p=m(c-(-c))=2mc$

每次粒子经过盒子的长度（l）和返回（另一个 l）时，它都会撞击墙壁，所以

$c={\frac {2l}{t}}$,

其中 t 是两次碰撞之间的时间。因此

$t={\frac {2l}{c}}$

每次碰撞都会对墙壁施加一个力。力是动量的变化率，所以

$F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {2mc}{\frac {2l}{c}}}={\frac {2mc^{2}}{2l}}={\frac {mc^{2}}{l}}$

然而，我们有 N 个粒子都在做这件事，所以作用在墙壁上的总力由下式给出

$F={\frac {Nm{\bar {c^{2}}}}{l}}$

这些分子都具有不同的速度，因此我们必须取一个平均值——均方根速度。这个力是三个维度上的力。因此，仅在一个维度上的力为

$F={\frac {Nm{\bar {c^{2}}}}{3l}}$

根据定义，压强为

$p={\frac {F}{A}}={\frac {Nm{\bar {c^{2}}}}{3Al}}$

但面积乘以长度是体积，所以

$p={\frac {Nm{\bar {c^{2}}}}{3V}}$

因此

$pV={\frac {1}{3}}Nm{\bar {c^{2}}}$

问题

1. 五个分子以 1, 5, 6, 8 和 36 ms⁻¹ 的速度运动。它们的均方根速度是多少？

2. 一个 N₂ 分子（原子量 14，1u = 1.66 x 10⁻²⁷kg）的质量是多少？

3. 大气压为 101,325 Pa。如果一摩尔氮气在约 10 °C 时占 2.3 m³，假设大气为 100% 氮气（实际上只有 78%），那么外界空气中分子的均方根速度是多少？

4. 在上述条件下，氮气分子的平均速度是多少？

5. 问题 1 中的粒子被复制 3000 次。如果它们具有 1g 的完全不现实的质量，当它们被塞入边长为 0.5m 的立方体中时，它们的压强是多少？

解答