A 级物理（进阶物理）/轨道/解答

1. 椭圆轨道的半长轴可以用行星到太阳的平均距离来近似地表示。如何使用上表中的数据来检验太阳系内行星是否遵循开普勒第三定律？

将 T² 除以 R³，并对每颗行星进行计算，看这个值是否大致相同。

2. 进行此测试。开普勒第三定律是否成立？

行星	水星	金星	地球	火星
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到太阳的平均距离（公里）	57,909,175	108,208,930	149,597,890	227,936,640
轨道周期（年）	0.2408467	0.61519726	1.0000174	1.8808476
${\frac {T^{2}}{R^{3}}}$ (年2公里−3 x 10−25)	2.987027815	4.85540079	2.986972006	1.588221903

因此，使用此半长轴的粗略近似值，开普勒第三定律确实适用于内行星。

3. 如果 T² α R³，用 T 和 R 表示常数 C。

$C={\frac {T^{2}}{R^{3}}}$

这是比例常数。对于围绕太阳的所有行星，它应该大致相同。或者，可以使用

$C={\frac {R^{3}}{T^{2}}}$

我们将使用前者来回答接下来的两个问题，但您应该能够使用后者得到相同的答案。

4. 木星的一颗卫星木卫一，其平均轨道半径为 421600 公里，公转周期为 1.77 个地球日。木星卫星的 C 值是多少？

$C={\frac {T^{2}}{R^{3}}}={\frac {(1.77\times 24\times 60\times 60)^{2}}{(421600000)^{3}}}=3.12\times 10^{-16}{\mbox{ s}}^{2}{\mbox{m}}^{-3}$

5. 木星的另一颗卫星木卫三，其平均轨道半径为 1070400 公里。它的公转周期是多长？

$3.12\times 10^{-16}={\frac {T^{2}}{1070400000^{3}}}$

$T={\sqrt {3.12\times 10^{-16}\times 1070400000^{3}}}=618665{\mbox{ s}}=7.16{\mbox{ days}}$

由于我们使用了一些近似值，因此结果并不准确。