A 级物理（进阶物理）/放射性衰变/习题解答

1 摩尔 = 6.02 x 10²³ 个原子

1u = 1.66 x 10⁻²⁷kg

1. 镅-241 的衰变常数为 5.07 x 10⁻¹¹s⁻¹。1 摩尔镅-241 的活度是多少？

$A=\lambda N=5.07\times 10^{-11}\times 6.02\times 10^{23}=3.05\times 10^{13}{\mbox{ Bq}}$

这就是为什么我们只需要非常小的样本来用于例如烟雾探测器。事实上，出于安全考虑，我们需要一个小样本——否则我们都会得癌症！

2. 需要多少克铅-212（λ = 18.2μs⁻¹）才能产生 0.8 x 10¹⁸Bq 的活度？

$N={\frac {A}{\lambda }}={\frac {0.8\times 10^{18}}{18.2\times 10^{-6}}}=4.40\times 10^{22}{\mbox{ nuclei}}=4.40\times 10^{22}\times 212\times 1.66\times 10^{-27}=15.5{\mbox{ g}}$

3. 2 kg 的铅-212 衰变到 1.5 kg 的铅-212 需要多长时间？

质量与原子数量成正比，因此

$m=m_{0}e^{-\lambda t}$

${\frac {m}{m_{0}}}=e^{-\lambda t}$

${\frac {m_{0}}{m}}=e^{\lambda t}$

$\lambda t=\ln {\frac {m_{0}}{m}}$

$t={\frac {\ln {\frac {m_{0}}{m}}}{\lambda }}={\frac {\ln {\frac {2}{1.5}}}{18.2\times 10^{-6}}}=15807{\mbox{ s}}=4.39{\mbox{ hours}}$

4. 消失的 0.5 kg 到哪里去了？

它变成了另一种同位素——在这种情况下，是汞-208。一些还变成了α粒子。

5. 一些镅-241 的活度为 3kBq。10 年后它的活度是多少？

$A=A_{0}e^{-\lambda t}=3000\times e^{-5.07\times 10^{-11}\times 10\times 365.24\times 24\times 60\times 60}=2.952{\mbox{ kBq}}$

6. 这种放射性衰变模型类似于拿一些骰子，每秒掷一次，然后移除掷出 1 或 2 的骰子。骰子的衰变常数是多少？

衰变常数是移除骰子的概率——λ = ⅓。

7. 如果你一开始有 10 个骰子，10 秒后你还会剩下多少个骰子？这种放射性衰变模型有什么问题？

$N=N_{0}e^{-\lambda t}=10\times e^{-{\frac {1}{3}}\times 10}=0.357{\mbox{ dice}}$

显然，你不可能有 0.357 个骰子。放射性衰变模型的问题是，一旦你拥有的原子核足够少，衰变就不再是连续的。随着时间的推移，这种模式变得更加随机。该模型还表明，原子核的数量总是会减少。实际上，由于原子核的数量只能是整数，因此最终将达到没有原子核留下的时刻。