以下二阶微分方程描述了简谐运动
由于我们有一个二阶导数,因此无法分离变量,所以设
因此
代入
ezt 在 0 处渐近,因此 ezt 不能等于 0,因此我们可以通过除以 ezt 来简化
因此
,
其中 P 和 Q 是积分常数。此时,通过设以下内容可以简化公式:
在其他地方(棣莫弗定理)已经证明,当 n 为常数时
以及 
因此
令:
因此,该微分方程的通解为
这描述了简谐振子在任何可能情况下都会发生的情况。但是,我们不需要一个涵盖所有情况的方程。我们希望给我们的振子一个初始位置——比如,在 t = 0 时 x = A 的位置。
因此,R = A 且 S = 0。
所以,特解为