A-level 物理（进阶物理）/简谐运动/数学推导

以下二阶微分方程描述了简谐运动

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {-kx}{m}}$

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {kx}{m}}=0$

由于我们有一个二阶导数，因此无法分离变量，所以设

$x=e^{zt}$

因此

${\frac {dx}{dt}}=ze^{zt}$

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=z^{2}e^{zt}$

代入

$z^{2}e^{zt}+{\frac {ke^{zt}}{m}}=0$

$e^{zt}\left(z^{2}+{\frac {k}{m}}\right)=0$

e^zt 在 0 处渐近，因此 e^zt 不能等于 0，因此我们可以通过除以 e^zt 来简化

$z^{2}+{\frac {k}{m}}=0$

$z^{2}={\frac {-k}{m}}$

$z=\pm {\sqrt {\frac {-k}{m}}}=\pm i{\sqrt {\frac {k}{m}}}$

因此

$x=Pe^{it{\sqrt {\frac {k}{m}}}}+Qe^{-it{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$,

其中 P 和 Q 是积分常数。此时，通过设以下内容可以简化公式：

$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$

$x=Pe^{i\omega t}+Qe^{-i\omega t}$

在其他地方（棣莫弗定理）已经证明，当 n 为常数时

$e^{ni\theta }=\cos {n\theta }+i\sin {n\theta }$ 以及 $e^{-ni\theta }=\cos {n\theta }-i\sin {n\theta }$

因此

$x=P(\cos {\omega t}+i\sin {\omega t})+Q(\cos {\omega t}-i\sin {\omega t})$

$x=(P+Q)\cos {\omega t}+(P-Q)i\sin {\omega t}$

令：$R=P+Q$

$S=P-Q$

因此，该微分方程的通解为

$x=R\cos {\omega t}+Si\sin {\omega t}$

这描述了简谐振子在任何可能情况下都会发生的情况。但是，我们不需要一个涵盖所有情况的方程。我们希望给我们的振子一个初始位置——比如，在 t = 0 时 x = A 的位置。

$A=R\cos {(\omega \times 0)}+Si\sin {(\omega \times 0)}$

$A=R\cos {0}+Si\sin {0}$

因此，R = A 且 S = 0。

所以，特解为

$x=A\cos {\omega t}$