A-level 物理（进阶物理）/简谐运动/习题解答

1. 一个 10N 的重物将弹簧拉伸了 5 厘米。再增加一个 10N 的重物，弹簧又拉伸了 5 厘米。弹簧的弹性系数是多少？

$\Delta F=k\Delta x$

$10=0.05k$

所以 $k={\frac {10}{0.05}}=200Nm^{-1}$

2. 将弹簧带到外太空，并用两个重物将它拉伸了 10 厘米。它的振动周期是多少？

首先计算两个重物的质量

$20=9.81m$

m = 2.04 公斤

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}=2\pi {\sqrt {\frac {2.04}{200}}}=0.634{\mbox{ s}}$

3. 1 秒后弹簧上作用着什么力？方向如何？

我们从 t=0 时开始振动，此时有一个位移。这个位移是振动的振幅，我们需要 f(ωt) 在 t=0 时为正。因此，我们使用一个带有余弦的位移方程。我们已经推导出这种情况下加速度的公式

$a=-\omega ^{2}\cos {\omega t}$

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {2\pi }{6.34}}=0.99{\mbox{ rad s}}^{-1}$

所以

$a=-0.99^{2}\cos {0.99\times t}=-0.538{\mbox{ ms}}^{-2}$

负号表示加速度与初始位移方向相反。

4. 一个摆的频率为 0.5 赫兹。这个摆的长度是多少？

$\omega =2\pi f$

${\sqrt {\frac {g}{l}}}=2\times \pi \times 0.5$

${\sqrt {\frac {9.81}{l}}}=\pi$

${\frac {9.81}{l}}=\pi ^{2}$

$l={\frac {9.81}{\pi ^{2}}}=0.994{\mbox{ m}}$

5. 下图显示了一个简谐振荡器的位移。绘制其速度、动量、加速度和作用在其上的力的图形。

x 是正弦波，所以

$x=A\sin {\omega t}$

$v={\frac {dx}{dt}}=A\omega \cos {\omega t}$

$a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-A\omega ^{2}\sin {\omega t}$

$p=mv=mA\omega \cos {\omega t}$

$F=ma=-mA\omega ^{2}\sin {\omega t}$

由于您没有提供任何细节，因此波的振幅并不重要。但是，相位差很重要。

6. 只有当摆锤的摆动角度很小时，才能将其建模为简谐振子。这是为什么？

简谐振子之所以有效，是因为作用力与位移方向相反。当摆锤远离挂在钉子正下方区域时，作用力不再与位移方向相反。