相对论之旅：过山车/附录 A

1g 火箭问题

考虑一个从静止状态以恒定加速度 1g 加速的火箭。考虑到相对论效应，我们实际上指的是什么？显然，火箭不能以恒定速率增加速度（对于保持静止的人来说），因为它最终会超过光速。实际上发生的是，火箭以指数方式接近光速，如下所示。

那么我们指的是恒定加速度什么呢？好吧，从船上宇航员的角度来看，我们指的是他们体验到一个恒定的模拟重力场，该重力场是由持续燃烧的火箭发动机的稳定推力产生的，这与地球上的 1g 感受完全一样。对他们来说，宇宙飞船永远处于静止状态，但船外的宇宙看起来以越来越快的速度经过，就像上面的插图一样。

现在，我们似乎需要在这里使用广义相对论的概念，但实际上没有必要。我们只需要仔细定义我们指的是这种加速度的哪种类型。在牛顿世界中，如果以速度 v 运动的物体以加速度 a 加速一小段时间 δt，则最终速度由下式给出

$v+\delta v=v+a\delta t$

然而，在相对论世界中，我们必须使用相对论速度叠加公式（见附录 *），即

$v+\delta v={v+a\delta t \over 1+va\delta t/c^{2}}$

这导致

$(v+\delta v)(1+va\delta t/c^{2})=v+a\delta t$
$v+v^{2}a\delta t/c^{2}+\delta v+va\delta v\delta t/c^{2}=v+a\delta t$

消去二阶项，我们得到

$\delta v=a\delta t-v^{2}a\delta t/c^{2}$
$\delta v=a\delta t(1-v^{2}/c^{2})$

现在我们所要做的就是对这个表达式进行积分，以找出 v 如何随 t 变化。首先分离变量

${\delta v \over (1-v^{2}/c^{2})}=a\delta t$
${\delta v \over (c^{2}-v^{2})}={a \over c^{2}}\delta t$

现在积分

$\int {1 \over (c^{2}-v^{2})}\,dv={a \over c^{2}}t$

幸运的是，这是一个标准积分，我的数学书告诉我它是

${1 \over c}\tanh ^{-1}{v \over c}={a \over c^{2}}t$

（由于 v 在 t = 0 时为 0，因此没有积分常数）。一些简单的操作可以让我们得到第一个结果

$v=c\tanh {a \over c}t$

注意这里提到的时间 t 是 proper time 的积分，也就是行程时间 - 也就是飞船上的乘客所经历的时间。所以这个公式告诉你经过时间 t 后你的速度会是多少。

接下来，我们想知道在这段时间内你能走多远。为了做到这一点，我们必须考虑到越快，你经过的距离就越缩短！在牛顿世界中，在短时间 δt 内以速度 v 行驶的距离 δs 为

$\delta s=v\delta t$

但在相对论世界中，你实际上走得更远，因为飞船外所有的距离都因 γ 倍的长度收缩，所以

$\delta s=\gamma v\delta t$
$\delta s={v \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\delta t$

将我们经过时间 t 后飞船速度的公式代入，我们得到

$\delta s={c\tanh at/c \over {\sqrt {1-(\tanh at/c)^{2}}}}$
$\delta s=c\sinh {at \over c}\delta t$

对这个表达式进行积分，得到

$s={c^{2} \over a}\cosh {at \over c}+K$

这次我们不能忽略积分常数，因为当 t = 0 时，s = 0，但 cosh(0) 为 1 而不是零。因此，最终结果为

$s={c^{2} \over a}\left(\cosh {at \over c}-1\right)$

我们想了解的第三件事是，我们回来的时候我们的朋友会多大岁数！好吧，对于我们以速度 v 行驶的每一秒，留在地球上的朋友会老 γ 秒，即

$\delta t_{\text{home}}={\delta t \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$
$t_{\text{home}}=\int {1 \over {\sqrt {1-(\tanh at/c)^{2}}}\,dt}$
$t_{\text{home}}=\int {\cosh {at \over c}}\,dt$

由此，我们得到

$t_{\text{home}}={c \over a}\sinh {at \over c}$

(积分常数为零，因为 sinh(0) = 0，正如预期的那样)

我发现 1g 火箭问题的解拥有如此简单而优雅的答案，尤其是在我们使用年和光年进行计算时，这一点特别令人满意。在这些单位中，a 和 c 都等于 1。如果我们考虑一个往返行程，该行程需要 T 年（以飞船上的时间测量），那么往程将包含两个阶段，加速阶段持续 T/4 年，减速阶段同样长。返程也一样。

达到的最大速度将是

$v=\tanh(T/4)$

你将到达的距离是

$S=2\left(\cosh(T/4)-1\right)$

当你回来时，你刚出生的小儿子的年龄将是

$T_{\text{home}}=4\sinh(T/4)$

为了让你了解这些表达式在实际应用中的样子，这里有一个结果表

旅程时间 (年)	最大速度 (% of c)	距离 (光年)	儿子年龄 (年)
0	0	0	0
1	24	0.1	1
2	46	0.3	2
3	64	0.6	3
4	76	1.1	5
5	85	2	6
6	91	3	9
7	94	4	11
8	96	6	15
9	98	8	19
10	99	10	24

值得注意的是，理论上往返一颗距离地球10光年的恒星只需要10年的宇航员时间 (而地球上已经过去了24年)。如果你准备旅行20年、30年或40年，你可以分别到达距离地球150光年、1800光年和22000光年的恒星 (这相当于银河系四分之一的距离！) 如果你不介意不回家，你可以在仅仅47年内到达已知宇宙的边缘 (不过，当你到达那里时，宇宙是否还存在就是另一个问题了！)

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