相对论的过山车之旅
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本书面向学习过一些数学并具备基本代数知识的读者。它非常适合 A 级或高中物理和/或数学学生，其目的是用适合这些知识水平的概念和语言尽可能解释狭义和广义相对论。
关于相对论的书籍一般分为两类。当然，有很多本科水平的教科书，带领读者从时间膨胀等简单概念一直到闵可夫斯基图和张量理论。也有很多书籍试图在不使用任何方程式（或者只使用一个！）的情况下解释相对论。遗憾的是，很多这样的书籍过于简化，有些坦率地说，是错误的。正如爱因斯坦自己所说，“你应该尽可能简单地解释你的理论，但不要更简单。”对于精通数学的学生和普通读者，这两种方法都不合适。这本小书试图填补这个空白，通过使用大量简单的代数和数值示例来解释爱因斯坦的理论，但没有引入任何超出非常简单的微积分的数学技巧（当然，如果需要，可以忽略这些技巧）。
那么，仅仅使用 A 级知识可以实现多少呢？答案是相当多。狭义相对论的基本定理（时间膨胀）只需要毕达哥拉斯定理，其余定理则需要与代数能力相当的思维敏捷性。所有给出的证明都经过仔细选择，1g 火箭问题和速度相加的证明是新的，因为我以前没有在其他地方看到过以这种方式证明它们。对著名方程 *E* = *mc*2 的方法也是略有新意的，它避免了量子理论的复杂性，而量子理论是任何依赖于盒子里光子行为的证明的非常不令人满意的特征。在论证的每个阶段，我都小心地展示了当 *v*远小于 *c*时，相对论表达式如何简化为牛顿表达式。
说到广义相对论，我们只能做到爱因斯坦 1911 年论文的程度，他在论文中描述了光线的弯曲和引力时间膨胀。1917 年出现的完整理论中揭示的由于空间和时间扭曲而产生的额外效应超出了本书的范围。然而，我们仍然可以计算出被称为黑洞的这些非凡天体的某些预测属性，甚至可以开始讨论宇宙整体的数值属性。
有一个关于阿瑟·爱丁顿爵士的故事，他写了很多书解释和普及爱因斯坦的理论。一位记者曾经对他说道，他是世界上仅有的三个真正理解广义相对论的人之一。爱丁顿沉默不语。当被问及为什么他没有说任何话时，他回答说：“我只是在想第三个人是谁。”
在爱因斯坦首次发表论文后的一个世纪里，科学界逐渐接受了广义相对论——至少在大尺度上——是世界运行的方式，它的预测现在已经被无数次验证，准确度惊人。但是，至于真正理解它的人数，你可能仍然在一张纸上列出他们的姓名——你不会在我的名单上找到我的姓名！另一方面，相对论的基本思想及其一些奇怪的后果，包括黑洞的存在，已经成为常识，任何有求知欲的人都想知道这些说法是如何得到证明的。如果你发现这本书中大量的方程式和公式有点令人生畏，请记住，正如伽利略所说，自然之书是用数学语言写成的，如果我们要理解我们所生活的这个世界，我们必须接受这一事实，并继续练习我们的数学能力，即使我们已经离开了正规的数学教育。此外——方程式有一个重要的属性，它与本书中出现的其他定理一样重要，所以我将在一个漂亮的小框中打印出来
| 阅读数学书籍的基本原则 |
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| 所有数学方程式都可以根据需要欣赏或忽略。你所需要的只是相信它们的真实性。 |
数学证明就像房子的产权证。重要的是产权证的存在，以及它被妥善保存。当你第一次买房子时，你可能足够好奇地浏览一下它，看看上面写了什么，但你不太可能理解它所用到的法律语言；然而，你雇用了一位优秀的律师来确保它是有序的，你至少可以欣赏它所使用的精美纸张。
我敦促你以同样的方式看待本书中的方程式和证明。浏览一下它们；尝试理解其中的一部分，但不要以为你必须理解每一个方程式——只需坐下来欣赏它们。不过，请务必拿出你的计算器验证一些数字；否则，你可能会发现它们难以置信。当你读完这本书后，你可以把它放在你卧室的一个安全地方，然后安心地睡觉，即使你仍然不相信运动的钟表走得慢，一分钱也会在加速时弯曲，但证明静静地放在你的架子上，所以它毕竟应该是真的。
让我带你乘坐相对论的过山车之旅。你会在这趟旅程中看到许多奇怪的景象，听到许多奇怪的故事——很多你难以置信。但在旅程结束时，你将能够用一种全新的、更加深刻的理解看待你周围的世界和头顶的星辰。你拿到了你的票吗？那就让我们出发吧……
我们一起登上列车，坐下来。一阵钟声响起，伴随着一阵猛烈的颠簸，我们出发了。
“没有什么可以抓握的东西，”你说。
是的，你是对的。在我们面前，除了一个看起来像只有一个换档杆，末端有一个黑色旋钮的东西之外，什么都没有。在旋钮上，有一些用白色刻的文字，简单地说：“狭义相对论的基本原则”。
恐怕只有这些，你必须像粘胶一样紧紧抓住它。如果你放开了这个原则，你就迷路了。这个原则本身看似无害，几乎不言而喻，然而爱因斯坦证明，它导致了一系列令人惊叹的、几乎难以置信的结果。在过山车爬上第一个山峰的时候，让我告诉你这个奇妙的原则是什么。
| 狭义相对论的基本原则 |
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| 物理定律对于所有相对于彼此作匀速直线运动的观察者都是相同的。 |
“就这些？”你问。“我还以为这是显而易见的。”
嗯，是的，就是这样。毕竟，当你从茶壶里倒一杯茶到茶杯里时，你、茶杯和茶壶是否都以 125 公里/小时的（恒定）速度在火车车厢里沿着（直线）铁轨飞驰并不重要。同样，整个火车，甚至整个地球以 30 公里/秒的（几乎恒定）速度绕太阳旋转也并不重要，整个太阳系绕银河系的旋转速度甚至比这还要快也不重要！支配茶叶下落方式的物理定律是完全相同的。你也不应该期望计算器会给出不同的答案或乐器会发出不同的声音，仅仅因为它们正在移动。当然，所有物理定律无论你是否在运动都相同。
我们可以用类似的表达方式重新陈述我们的原理：
| 在一个封闭的实验室里，不可能进行任何实验来探测实验室是否在运动。绝对运动毫无意义，只有相对运动可以测量。 |
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听起来很有道理，不是吗？
对我来说，听起来很明显。
我同意。但是，也许有一种方法可以让你判断自己是否在运动。如果你测量光在不同方向上的速度会怎么样？假设你发现光在一个方向上的速度大于光在相反方向上的速度？你将如何推断？当然，合理地推断你的实验室实际上正在太空中移动，在一个方向上光速和实验室速度相加，而在另一个方向上，这两个速度相减。
实际上，这个实验很难做，因为你必须非常精确地测量光速，但最终，正如我们将在后面看到的那样，两位名叫迈克尔逊和莫雷的物理学家进行了相应的实验，但结果令人失望。光速似乎在所有方向上都是恒定的。
虽然大多数科学家试图通过各种方法来解释这个结果，但阿尔伯特·爱因斯坦只是将其作为一个基本原理的必要结果来接受，即：
| 真空中光速是一个普遍常数，即使在相对运动的不同观察者测量时，它也将始终保持不变。 |
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（值得注意的是，爱因斯坦在第一次研究狭义相对论时并不知道迈克尔逊-莫雷实验的结果。）
我们现在已经爬上了第一座山顶。让我们停一下，最后再看看我们舒适熟悉的这个世界。在你的下方，你可以看到你的孪生兄弟在翻阅一本看起来像是旅游手册的东西。稍后我们会发现他正在计划去比邻星短途旅行。在你右边，你可以看到一些工人正在对一个高耸在射击场上的大型时钟进行维护。研究子弹的行为会告诉我们一些关于速度如何相加的非凡现象。孩子们乘坐鬼车发出的尖叫声吸引了你的注意，你看着长长的火车冲进隧道。你注意到火车尾部消失在隧道中的那一刻，火车头正好从隧道的另一端出现。详细考虑这种情况会颠覆我们对时间的认知。在下方，你注意到一些孩子在一个破旧的桌子上玩着“推半便士”的游戏，还有两个男孩正在抛着两个足球。在远处，你可以看到一条快速流动的河流。等等 - 一场比赛即将开始......
河流竞赛
[edit | edit source]两位朋友，如果可以的话，叫阿尔伯特和贝娅特丽丝，同意在一条快速流动的河流上进行划船比赛。阿尔伯特将直接横穿河流划行 100 米，然后再返回。他知道为了垂直于水流前进，他需要向上游稍微划一点，这会减慢他两段行程的速度，但他认为不会减慢太多。贝娅特丽丝计划向上游划行 100 米到 B 点，然后再返回。她知道逆流而上划行会很辛苦，但她认为她在返回时会得到和出发时一样多的帮助，而且她会赢得比赛。
你认为谁会赢得比赛？
你看。正如预期的那样，阿尔伯特稳定地划过河流，轻松地击败了向上游努力划行的贝娅特丽丝，到达了第一个转向点。但是，当贝娅特丽丝最终到达她的转向点时，兴奋和欢呼声开始高涨，因为水流正迅速地将她带回起点，而可怜的阿尔伯特仍在艰难地划过河流。尽管如此，阿尔伯特领先太多，尽管有水流的帮助，贝娅特丽丝也无法弥补失去的距离，输掉了比赛。
为什么是这样？让我们用一些典型数据来算算。
如果我们假设河流流速为 1 米/秒，两位划船者在水中的划行速度均为 2 米/秒，那么很容易利用勾股定理得出阿尔伯特横渡河流的合速度为 √3 米/秒，他将以 115 秒完成比赛。
另一方面，贝娅特丽丝需要 100 秒才能到达转向点（以 2 - 1 = 1 米/秒的有效速度行驶），尽管有水流的帮助，她还是无法及时返回赢得比赛，因为即使以 2 + 1 = 3 米/秒的速度行驶，返回也需要 33 秒。
行程时间差异是由于两条路径的几何形状不同造成的，当然也取决于河流的速度。值得指出的是，如果河流流速为 2 米/秒，与阿尔伯特和贝娅特丽丝的划行速度相同，那么两位划船者都无法完成比赛。但事实证明，在低于 2 米/秒的速度下，阿尔伯特始终获胜。
这个小故事有什么意义？好吧，在 1887 年，迈克尔逊和莫雷使用一种叫做干涉仪的装置进行了著名的测量地球穿过假想以太速度的实验。该装置的示意图如下：
来自单色光源的光被一块半镀银镜分成两束，这两束光传播到两个遥远的镜子 A 和 B（就像两位划船者阿尔伯特和贝娅特丽丝一样）。当它们返回时，相同的半镀银镜将两束光重新组合成一束。如果两个臂的长度完全相同（如果地球是静止的），那么两束光到达镜子并返回所需的时间完全相同，因此它们将完全同相到达并发生相长干涉（即，它们将产生强干涉条纹）。然而，如果地球正在移动，根据以太理论，与地球在太空中运动方向平行的光束相对于另一束光会延迟，干涉条纹将会发生移动，也许会显示出相消干涉而不是相长干涉。为了消除不可避免的臂长略微差异造成的影响，整个装置被设计成缓慢地旋转，一次旋转 90°。
现在，地球以约 30 公里/秒的速度绕太阳运行 - 约为光速的 0.01%。这使得计算变得有点困难，因为重要的数字出现在小数点后第 10 位，你的计算器可能不够精确 - 但结果是迈克尔逊和莫雷预计会看到约 ± 半个波长的条纹移动。并不多，但仍然很容易检测到。
那么，他们看到了什么？他们观察了一整年，发现什么都没有。条纹根本没有移动。无论你从哪个角度看，这个实验要么是一个成功的失败，要么是一个糟糕的成功 - 因为它似乎表明地球根本没有移动！
提出了各种理论来解释这个结果。地球是宇宙中唯一速度为零的事物，这似乎难以置信，所以也许地球“拖拽”着以太一起移动，或者也许装置的臂长会根据它们移动的方式发生变化。
这些都不正确。事实是，这个实验的结果不需要解释！这只是我们所处宇宙的一个基本事实。真空中光速是一个基本常数，即使在相对运动的观察者测量时，它也将始终保持不变。
我对此没有问题。
你会有的。
为什么？
当考虑两个相对运动的观察者对光速的测量时，所有问题都会出现。你必须接受的第一件事是：
| 奇怪的后果 1 |
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| 移动的时钟走得慢。 |
过山车猛烈一抖，突然你迅速地向下加速。我喊着“抓住这个原理”，你的手臂在空中疯狂地挥舞着，试图找到什么东西可以抓牢。当我们加速时，我瞥了一眼钟塔，满意地注意到射击场上的钟表指针并没有像以前那样快地移动......
