穿越相对论的过山车之旅/附录 B

长度收缩

在河流比赛的背景下，如果我们看到阿尔伯特和贝娅特里斯在完全相同的时间到达终点，并且知道 *贝娅特里斯的划船速度不能快于阿尔伯特*，那么我们必须得出结论，贝娅特里斯的划船距离更短。

短多少呢？假设阿尔伯特划了l_A的距离，贝娅特里斯划了l_B的距离。

${\text{Time for Albert to finish}}={2l_{A} \over {\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}$
${\text{Time for Beatrice to finish}}={l_{B} \over c-v}+{l_{B} \over c+v}={2l_{B}c \over c^{2}-v^{2}}$

现在这些必须相等，因此

${2l_{A} \over {\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={2l_{B}c \over c^{2}-v^{2}}$

由此得到

$l_{B}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\,l_{A}$

这意味着，从静止观察者的角度来看，一根 *固有长度* 为l₀ 的杆（即在静止时长度为l₀）的长度l 将由以下公式给出：

$l={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\,l_{0}=l_{0}/\gamma$

当它以速度v沿其长度方向运动时。（它在垂直于运动方向的任何方向上都会始终显示为具有相同的长度l₀。）