相对论之旅/附录 C

遥远恒星上的时间

你如何同步两个静止但位置不同的时钟？

一种方法是

• 测量时钟之间的距离 d
• 将时钟 A 设置为零（但不要启动它）
• 将时钟 B 设置为读数 d/c（但同样不要启动它）
• 启动时钟 A 并同时向时钟 B 发送一个光脉冲
• 当光脉冲到达 B 时，启动时钟 B

同步两个时钟

现在这两个时钟将被同步，至少对于相对于这两个时钟静止的观察者来说是如此。但是，如果我观察你以速度 v（从 B 到 A 的方向）驶过我时同步一对时钟，我会对你的计算有两种不同的意见。首先，时钟之间的距离将缩短一个因子 γ。其次，当光束以我看来是恒定的速度 c 从 A 传播到 B 时，B 将以速度 v 向光束移动。对我来说，光束将以 c + v 的相对速度赶上时钟，因此光束从 A 到 B 的时间将是

$T={{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}~d \over c+v}$

这可以重新排列并简化为

$T={l \over c}{{\sqrt {c^{2}-v^{2}}} \over c+v}$
$T={l \over c}{\sqrt {(c+v)(c-v) \over (c+v)(c+v)}}$
$T={l \over c}{\sqrt {c-v \over c+v}}$

这意味着，虽然你将时钟 B 设置为读数 l/c，但我认为你应该将它设置为上面的 较小 的时间。换句话说，在我看来，你面前所有假定的同步时钟都落后于真实时间，而你后面的所有时钟都领先于真实时间。

现在，两个时间之间的 差值 等于

$\Delta T={l \over c}-{l \over c}{\sqrt {c-v \over c+v}}$

如果我们假设 v 远小于 c，我们可以将此公式大大简化。首先，我们将公式改写如下

$\Delta T={l \over c}(1-(1-v/c)^{1/2}(1+v/c)^{1/2})$

因此，使用二项式定理，我们得到

$\Delta T={lv \over c^{2}}$

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