相对论之旅/附录 D

速度的加法

考虑一艘长度为l_A的宇宙飞船 A，以速度v_A从你身边飞过，它经过另一艘长度为l_B的宇宙飞船 B，B 以速度v_B朝相反的方向运动（这两个速度都是相对于你测量的）。我们需要回答的问题是，B 相对于 A 中的宇航员以什么速度v_X运动？

我们需要考虑两个关键事件：第一次接触，当两艘宇宙飞船的船头相遇时；第二次接触，当两艘宇宙飞船的船尾分开时。

更重要的是，让我们假设这两个事件在同一个地方发生，从你的角度来看。这意味着这两艘飞船的长度必须恰好合适，以便它们在相同的时间内从你身边经过。请注意，从你的角度来看，两艘飞船都因γ_A和γ_B因子而收缩。

现在，A 舰长看到了什么？他看到你以速度v_A从他身边飞过，也看到 B 舰以某个更大的速度v_X从他身边飞过。

请注意，对于 A 舰上的乘员来说，B 舰的长度因γ_X因子而收缩。

现在，A 舰长可以用两种方法计算第一次接触和第二次接触之间的时间。首先，他看到你以速度v_A运动了距离l_A。其次，他看到 B 舰（其长度收缩到l_B/γ_X）以速度v_X运动了l_A + l_B/γ_X的距离。因此，我们得到

${l_{A} \over v_{A}}={l_{A}+l_{B}/\gamma _{X} \over v_{X}}$
$l_{A}v_{X}=l_{A}v_{A}+l_{B}v_{Z}/\gamma _{X}$
$l_{A}(v_{X}-v_{A})=l_{A}v_{B}/\gamma _{X}$

从 B 舰长角度进行相同的论证，我们可以得到

$l_{B}(v_{X}-v_{B})=l_{B}v_{A}/\gamma _{X}$

（需要注意的是，由于速度不变性，如果 A 舰长看到 B 舰以速度v_X运动，那么 B 舰长将看到 A 舰以完全相同的速度运动，并且以相同的 γ 因子收缩。）

现在，将这两个方程相乘，消去两艘飞船的长度，留下速度之间的关系。剩下的就是代数运算。

$(v_{X}-v_{A})(v_{X}-v_{B})=v_{A}v_{B}/\gamma _{X}^{2}$

现在

$\gamma _{X}={1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

所以

$1/\gamma _{X}^{2}=1-v_{X}^{2}/c^{2}=(c^{2}-v_{X}^{2})/c^{2}$

因此

$(v_{X}-v_{A})(v_{X}-v_{B})=v_{A}v_{B}(c^{2}-v_{X}^{2})/c^{2}$

通过简单的代数运算，我们就可以得到我们想要的结果

$v_{x}={v_{A}+v_{B} \over 1+v_{A}v_{B}/c^{2}}$