穿越相对论的过山车之旅/附录 F

相对论动能

假设一个静止质量为M₀的物体被一个恒力F从静止加速t时间。

在牛顿力学中，物体的加速度a将为

$a={f \over M_{0}}$

物体移动的距离s将为

$s={\tfrac {1}{2}}at^{2}={FT^{2} \over 2M_{0}}$

最终达到的速度将为

$v=at={Ft \over M_{0}}$

由此得出

$Ft=M_{0}v$

现在物体获得的动能KE将等于力所做的功，这当然是力 × 距离或Fs。因此

$KE=Fs={F^{2}t^{2} \over 2M_{0}}={M_{0}^{2}v^{2} \over 2M_{0}}$
$KE={\tfrac {1}{2}}M_{0}v^{2}$

现在为了使用狭义相对论进行同样的分析，我们需要使用在恒速加速火箭分析中获得的结果，即

$s={c^{2} \over a}\left(\cosh {at \over c}-1\right)$

和

$v=c\tanh {a \over c}t$

我们需要做的是从这两个方程中消除t，这可以使用以下标准关系来完成

${1 \over \cosh ^{2}\theta }+\tanh ^{2}\theta =1$

代数有点乱，但并不难，简化为

$as={c^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-c^{2}=c^{2}(\gamma -1)$

现在我们需要仔细思考我们发现了什么。这个方程为我们提供了对于一个以a恒定加速度运动的火箭，其最终达到的速度和移动距离之间的关系。但这是从谁的角度来看的？是火箭上的人还是留在原地的人？

嗯，关于速度v没有问题。正如我们所看到的，两位观察者都同意任何物体的相对速度。但无论如何，我们谈论的是静止观察者所看到的速度。

距离s也是静止观察者所看到的移动距离（记住，这是实际移动到恒星的距离，而不是长度收缩后的距离）。

加速度a呢？这是火箭上的乘员所经历的加速度。你会记得，火箭被假定以这样的方式加速，即火箭上的乘员经历恒定的“人造重力”。就宇航员而言，火箭发动机产生恒定的推力F，火箭具有恒定的质量M₀，因此我们仍然可以假设

$a={F \over M_{0}}$

因此

$Fs=c^{2}(\gamma -1)$

通常我们会简单地写成

$KE_{r}=Fs$

但这需要一些解释。你看，s 是静止观察者所看到的运动距离，而 F 是宇航员测量的推力，将这两个量相乘并不明显。

假设我们不是用火箭发动机加速火箭，而是用（静止的）电场 E 加速电子。

问题是：电子感受到的力是否与加速器作用于电子的力相同？从某种意义上说，这个问题没有答案，因为它取决于你对力的定义。我们实际上是在构建一个与牛顿定义尽可能接近的相对论力定义。我们希望我们的相对论力所做的一件事是服从牛顿第三定律，该定律可以表述为作用力与反作用力大小相等，方向相反；因此，如果我们假设这是真的，我们可以继续完成证明。也就是说

$KE_{r}=M_{0}c^{2}(\gamma -1)$

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