相对论之旅/附录 G

能量与动量之间的关系

物体的总相对论能量E和相对论动量p由以下表达式给出

$E=\gamma M_{0}c^{2}={M_{0}c^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$
$p=\gamma M_{0}v={M_{0}v \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

我们希望从这些方程中消除v。首先平方并交叉相乘

$E^{2}(1-v^{2}/c^{2})=M_{0}^{2}c^{4}$
$p^{2}(1-v^{2}/c^{2})=M_{0}^{2}v^{2}$

现在，为了一个狡猾的策略，将第二个方程乘以c²然后减去！

$(E^{2}-p^{2}c^{2})(1-v^{2}/c^{2})=m_{0}^{2}c^{4}(1-v^{2}/c^{2})$

由此我们得到

$E^{2}-p^{2}c^{2}=M_{0}^{2}c^{4}$

写这个方程的另一种（在我看来更好的）方法是

$E^{2}-E_{0}^{2}=p^{2}c^{2}$

其中E₀是物体的静止质量能。

将这个表达式与非相对论能量和动量之间的关系进行比较是有益的，它可以通过以下方式计算

$KE={\tfrac {1}{2}}Mv^{2}~~~{\text{and}}~~~p=Mv$

所以

$KE={p^{2} \over 2M}$

起初很难看出来相对论表达式在v很小时是如何简化为非相对论表达式的（它必须这样），但事实的确如此。请看！

因为

$E^{2}-E_{0}^{2}=p^{2}c^{2}$

我们可以写成

$(E-E_{0})(E+E_{0})=p^{2}c^{2}$

现在 (E - E0) 只是相对论动能KE_r，它在低速下近似于普通动能KE。

在低速下，总相对论能量E和静止质量能E₀几乎相等，都等于Mc²，所以

$KE~.~2Mc^{2}=p^{2}c^{2}$

由此很容易看出

$KE={p^{2} \over 2M}$

正如预期的那样。