抽象代数/代数

在本节中，我们将讨论具有三个运算的结构。这些被称为代数。我们将从定义域上的代数开始，它是一个具有双线性向量积的向量空间。在给出一些例子之后，我们将继续讨论箭图及其路径代数。

域上的代数

定义 1：令 $F$ 为一个域，令 $A$ 为一个 $F$-向量空间，我们在这个空间上定义向量积 $\cdot \,:\,A\times A\rightarrow A$。则 $A$ 被称为 关于 $F$ 的 代数，只要 $(A,+,\cdot )$ 是一个环，其中 $+$ 是向量空间加法，并且对于所有 $a,b,c\in A$ 和 $\alpha \in F$，

1. $a(bc)=(ab)c$,
2. $a(b+c)=ab+ac$ 以及 $(a+b)c=ac+bc$，
3. $\alpha (ab)=(\alpha a)b=a(\alpha b)$.

代数的 维数 是 $A$ 作为向量空间的维数。

注 2：子代数 的适当定义从定义 1 中可以清晰看出。我们把它的正式陈述留给读者。

定义 2：如果 $(A,+,\cdot )$ 是一个交换环，$A$ 被称为交换代数。如果它是一个除环，$A$ 被称为除代数。我们保留术语实数代数和复数代数分别表示在 $\mathbb {R}$ 和 $\mathbb {C}$ 上的代数。

我们邀请读者检查以下例子是否真的是代数的例子。

例子 3：设 $F$ 是一个域。向量空间 $F^{n}$ 在逐分量乘法下形成一个交换的 $F$-代数。

例子 4：四元数 $\mathbb {H}$ 是一个 4 维实数代数。我们留给读者证明它不是一个 2 维复数代数。

例子 5：给定一个域 $F$，多项式向量空间 $F[x]$ 以自然的方式是一个交换的 $F$-代数。

例子 6：设 $F$ 是一个域。那么，在 $F$ 上的任何矩阵环，例如 $\left({\begin{array}{cc}F&0\\F&F\end{array}}\right)$，以自然的方式产生了一个 $F$-代数。

箭图和路径代数

简单来说，箭图可以理解为一个有向图，我们允许循环和平行边。正式地，我们有以下内容。

定义 7：箭图是四部分数据的集合，$Q=(Q_{0},Q_{1},s,t)$,

1. $Q_{0}$ 是箭图的顶点集合，
2. $Q_{1}$ 是边集合，以及
3. $s,t\,:\,Q_{1}\rightarrow Q_{0}$ 是将每个边分别与一个源顶点和一个目标顶点关联的函数。

我们始终假设 $Q_{0}$ 非空，并且 $Q_{0}$ 和 $Q_{1}$ 是有限集。

例 8： 以下是箭图的最简单示例。

1. 一个点且没有边的箭图，用 $1$ 表示。
2. 有 $n$ 个点且没有边的箭图， $1\quad 2\quad ...\quad n$.
3. 有 $n$ 个点的线性箭图， $1\,{\stackrel {a_{1}}{\longrightarrow }}\,2\,{\stackrel {a_{2}}{\longrightarrow }}\,...\,{\xrightarrow {a_{n-1}}}\,n$.
4. 最简单的具有非平凡环的箭图， $1{\underset {a}{\stackrel {b}{\leftrightarrows }}}2$.

定义 9： 设 $Q$ 为一个箭图。$Q$ 中的路径是指边的一个序列 $a=a_{m}a_{m-1}...a_{1}$，其中对于所有 $i=2,...,m$，有 $s(a_{i})=t(a_{i-1})$。我们扩展了 $s$ 和 $t$ 的定义域，并定义 $s(a)\equiv s(a_{0})$ 和 $t(a)\equiv t(a_{m})$。我们定义路径的长度为它包含的边的数量，并记为 $l(a)=m$。对于箭图的每个顶点 $i$，我们关联平凡路径 $e_{i}$，满足 $s(e_{i})=t(e_{i})=i$ 且 $l(e_{i})=0$。一个满足 $s(a)=t(a)=i$ 的非平凡路径 $a$ 称为 $i$ 处的定向循环。

箭图之所以对我们有意义是因为它们提供了一种具体的构造某种代数族的方法，该族称为路径代数。

定义 10： 设 $Q$ 是一个箭图，$F$ 是一个域。设 $FQ$ 表示由 $Q$ 的所有路径生成的自由向量空间。在这个向量空间上，我们以明显的方式定义向量积：如果 $u=u_{m}...u_{1}$ 和 $v=v_{n}...v_{1}$ 是满足 $s(v)=t(u)$ 的路径，则定义它们的积 $vu$ 为连接：$vu=v_{n}...v_{1}u_{m}...u_{1}$。如果 $s(v)\neq t(u)$，则定义它们的积为 $vu=0$。这个乘积使 $FQ$ 成为一个 $F$-代数，称为 $Q$ 的 *路径代数*。

引理 11： 设 $Q$ 是一个箭图，$F$ 是一个域。如果 $Q$ 包含长度为 $|Q_{0}|$ 的路径，则 $FQ$ 是无限维的。

证明： 通过计数论证，这样的路径必须包含一个有向循环，$a$，比方说。显然 $\{a^{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ 是一个线性无关集，使得 $FQ$ 是无限维的。

引理 12： 令 $Q$ 是一个箭图，$F$ 是一个域。那么 $FQ$ 是无限维的当且仅当 $Q$ 包含一个有向循环。

证明： 令 $a$ 是 $Q$ 中的一个有向循环。那么 $FQ$ 是无限维的，根据上面的论证。反过来，假设 $Q$ 没有循环。那么箭图的顶点可以被排序，使得边总是从较低的顶点指向较高的顶点，由于任何给定路径的长度都以 $|Q_{0}|-1$ 为上界，$FQ$ 的维数以 $\mathrm {dim} \,FQ\leq |Q_{0}|^{2}-|Q_{0}|<\infty$ 为上界。

引理 13： 令 $Q$ 是一个箭图，$F$ 是一个域。那么平凡边 $e_{i}$ 形成一个正交幂等集。

证明： 这直接来自定义：$e_{i}e_{j}=0$ 如果 $i\neq j$ 并且 $e_{i}^{2}=e_{i}$.

推论 14： 元素 $\sum _{i\in Q_{0}}e_{i}$ 是 $FQ$ 中的单位元。

证明： 证明在 $FQ$ 的生成元上进行即可。令 $a$ 是 $Q$ 中的一条路径，其中 $s(a)=j$ 并且 $t(a)=k$。那么 $\left(\sum _{i\in Q_{0}}e_{i}\right)a=\sum _{i\in Q_{0}}e_{i}a=e_{j}a=a$。类似地，$a\left(\sum _{i\in Q_{0}}e_{i}\right)=a$.

待覆盖

- 一般 R-代数