抽象代数/二元运算

集合 $A$ 上的二元运算是一个函数 $*:A\times A\rightarrow A$ 。对于 $a,b\in A$ ，我们通常写 $*(a,b)$ 为 $a*b$ 。

性质

对于所有 $a,b\in A$ ， $a*b\in A$ 的性质称为对 $*$ 的封闭性。

示例：两个整数之间的加法产生一个整数结果。因此加法是整数上的二元运算。而整数的除法是一个不是二元运算的运算的例子。 $1/2$ 不是整数，所以整数在除法下不封闭。

为了表明集合 $A$ 在其上定义了一个二元运算 $*$ ，我们可以简洁地写成 $(A,*)$ 。集合和其上的二元运算的这种对被称为二元结构。二元结构可能具有一些有趣的性质。我们将感兴趣的主要内容概述如下。

定义：如果对于所有 $a,b,c\in A$ ， $(a*b)*c=a*(b*c)$ ，则 $A$ 上的二元运算 $*$ 是结合的。

示例：整数的加法是结合的： $(1+2)+3=6=1+(2+3)$ 。但是请注意，减法不是结合的。实际上， $2=1-(2-3)\neq (1-2)-3=-4$ 。

定义： 在 $A$ 上的二元运算 $*$ 是交换的，是指对于所有的 $a,b\in A$ ， $a*b=b*a$ 。

例子： 有理数的乘法是交换的： ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}={\frac {ca}{bd}}={\frac {c}{d}}\cdot {\frac {a}{b}}$ 。请注意，除法不是交换的： $2\div 3={\frac {2}{3}}$ ，而 $3\div 2={\frac {3}{2}}$ 。还要注意，乘法的交换性依赖于整数乘法也是交换的这个事实。

练习

在四则运算中，加法、减法、乘法和除法，哪些是结合的？哪些是交换的？哪些有单位元？

答案

运算	结合性	交换性
加法	是	是
乘法	是	是
减法	否	否
除法	否	否

代数结构

二元运算是在代数结构中起作用的部分。

一个二元运算

在集合 A 上的封闭二元运算 o 被称为magma (A, o )。

如果二元运算遵守结合律 a o (b o c) = (a o b) o c，那么magma (A, o ) 是一个半群。

如果一个magma有一个元素 e 满足 e o x = x = x o e 对于它里面的每一个 x，那么它是一个幺半群。元素 e 被称为关于 o 的单位元。如果一个幺半群有元素 x 和 y 使得 x o y = e，那么 x 和 y 是彼此的逆元。

一个magma，对于每一个方程 a x = b 都有一个解 x，并且每一个方程 y c = d 都有一个解 y，是一个拟群。一个幺半群是一个圈。

一个幺半群被称为幺半群。一个每个元素都有逆元的幺半群是一个群。一个对于所有元素 x 和 y 都有 x o y = y o x 的群被称为交换群。或者，它被称为阿贝尔群。

两个二元运算

一对结构，每个结构有一个运算，可以用来构建具有两个运算的结构：将 (A, o ) 作为具有单位元 e 的交换群。令 A_ 表示从 A 中移除 e 后得到的 A，并假设 (A_ , * ) 是具有二元运算 * 的幺半群，这个 * 对 o 是可分配的：

a * (b o c) = (a * b) o (a * c)。那么 (A, o, * ) 是一个环。

在这个环的构造中，当幺半群 (A_ , * ) 是一个群时，那么 (A, o, * ) 是一个除环或斜域。当 (A_ , * ) 是一个交换群时，那么 (A, o, * ) 是一个域。

两个运算 sup (v) 和 inf (^) 被假定为交换的和结合的。此外，吸收性质要求：a ^ (a v b) = a，和 a v (a ^ b) = a。那么 (A, v, ^ ) 被称为格。

在一个格中，模等式是 (a ^ b) v (x ^ b) = ((a ^ b) v x ) ^ b。满足模等式的格是一个模格。