抽象代数/群的定义，非常基本的性质

定义

以下定义是群论的起点。

定义 1.1:

一个群是一个集合$G$，以及一个函数

$G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy$

称为乘法或二元运算，并简单地用该群的并置表示，使得以下规则成立

1. 该合成律是结合的，也就是说，$\forall x,y,z\in G:(xy)z=x(yz)$
2. 对于给定的合成律，存在一个唯一的左单位元，也就是说，存在一个唯一的$e\in G$，使得$\forall g\in G:eg=g$。
3. 对于每个$g\in G$，都存在一个$g$的逆元，即$G$中的一个元素，记为$g^{-1}$，使得。

尽管群需要满足的这些公理非常简洁，但群可能非常复杂，并且对群的研究并非易事。例如，存在一个非常复杂的群，称为怪兽群，它大约有$8\cdot 10^{53}$个元素，并且合成律如此复杂，以至于即使是现代计算机也很难在这个群中进行计算。

有一种特殊的群（即那些交换的群，即乘法满足交换律），以著名的数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔命名。

定义 1.2:

一个阿贝尔群是一个群，其二元运算交换，即，

$\forall x,y\in G:xy=yx$.

通常，阿贝尔群用加法表示，也就是说，对于$x$和$y$的二元运算，我们写

$x+y$，而不是$xy$。

示例

例 1.3:

一个经典的群的例子是具有实数项的可逆$2\times 2$矩阵。正式地，这个群可以这样写下来

解析失败 (未知函数 "\middle"): {\displaystyle GL_2(\mathbb R) := \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \middle| a, b, c, d \in \mathbb R, ad - bc \neq 0 \right\}} ;

我们使用了这样一个事实：$\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc$，并且一个矩阵可逆当且仅当它的行列式不为零。

例 1.4:

平凡群是一个只包含一个元素的群，我们称之为$e$（也就是说，$G=\{e\}$），并且二元运算由我们唯一的选择给出

$ee:=e$.

这个结构满足所有群公理。

基本性质

这里我们描述所有群共享的性质，这些性质是定义 1.1 的直接结果。

幂运算

如果$G$是一个群，$g\in G$是一个元素，并且$k\in \mathbb {Z}$，我们可以将$g$提升到$k$次幂。这是这样工作的