抽象代数/域

域和同态

定义

定义（域）

一个域 $F$ 是一个交换幺元环，其中每个非零 $x\in F$ 都有一个乘法逆元。换句话说，对于每个 $x\in F\setminus \{0\}$，都存在某个 $y\in F\setminus \{0\}$，使得 $x\cdot y=1$.

本质上，域是一个交换除环。

示例

1. $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$（有理数、实数和复数）具有标准的 $+$ 和 $\cdot$ 运算具有域结构。这些是具有无限基数的示例。
2. $\mathbb {Z} _{p}$，模 $p$ 的整数，其中 $p$ 是一个素数，而 $+$ 和 $\cdot$ 是模 $p,$ 的，是一个有限域族。
3. 如果 $F$ 是一个域，那么 $F(x)$，有理函数（即多项式的商）的集合，其系数在 $F$ 中，也构成一个域。
4. 一个非示例是 $\mathbb {Z} _{n}$ 其中 $n$ 不是素数。例如，2 在 $\mathbb {Z} _{4}$ 中没有乘法逆元，因此 $\mathbb {Z} _{4}$ 不是域。

同态

定义（域同态）

如果 $E,F$ 是域，则 $f:E\to F$ 是一个 **域同态** 如果

• $f(a+b)=f(a)+f(b)$
• $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$
• $f(1_{E})=1_{F}$

因此域同态恰好是单式环同态。

引理 4.1.1

每个域同态都是单射的。

证明。 这是一个关于域的理想结构的简单推论。假设 $f:E\to F$ 是一个域同态。特别地，它是一个环同态，因此我们知道 ${\rm {ker}}(f)$ 是 $E$ 的一个理想。由于 $E$ 是一个域，它只有平凡的理想，所以 ${\rm {ker}}(f)=\{0\}$ 或 ${\rm {ker}}(f)=E$。我们可以排除第二种情况，因为 $f(1_{E})=1_{F}$，所以映射不能是平凡的。因此，我们处于第一种情况，这意味着正好 $f$ 是单射的。      $\blacksquare$

上面的引理意味着每个域同态也可以被认为是域的嵌入。

正如数学中经常发生的那样，对象之间的映射会诱导出相关对象之间的进一步映射。例如，拓扑空间之间的连续映射会诱导出空间上的闭合曲线集合之间的映射，向量空间之间的线性映射会诱导出对偶空间之间的线性映射（尽管方向相反）。在这种情况下，域之间的同态会诱导出对应多项式环之间的同态。更准确地说，假设 $\varphi :E\to F$ 是一个域同态。这会诱导出一个映射 $\varphi _{*}:E[x]\to F[x]$，由以下公式给出：$$\varphi _{*}(a_{0}+a_{1}x+\dots a_{n}x^{n})=\varphi (a_{0})+\varphi (a_{1})x+\dots \varphi (a_{n})x^{n}$$

很容易看出 $\varphi _{*}$ 是一个（含单位元）环同态。此外，如果 $\varphi$ 是一个同构，那么 $\varphi _{*}$ 也是一个同构。

域的特征

域的一个重要性质是其特征。我们首先需要考虑从$\mathbb {Z}$到域$F$的规范同态$\varphi$。当然，这是通过将单位映射到单位来定义的。由于$\mathbb {Z}$是由$1$生成的，因此这足以定义整个同态。从第一同构定理，我们知道$\mathbb {Z} /{\textrm {ker}}(\varphi )\cong \varphi (\mathbb {Z} )\subseteq F$。特别是，这意味着$\varphi (\mathbb {Z} )$是$F$的子环，甚至是一个子域，因此是一个整环。因此${\textrm {ker}}(\varphi )$是$\mathbb {Z}$的素理想。存在一个唯一的非负整数生成该理想。我们称这个整数为$F$的特征。注意，根据上面的论证，如果特征非零，则它必须是素数。

直观地，域 $F$ 的特征是指最小的正整数 $p$ （如果存在），使得 $$\underbrace {1+\dots +1} _{p{\text{ times}}}=0$$。如果不存在这样的正整数，则 $F$ 的特征为 0。例如，$\mathbb {Z} _{p}$ 都有特征 $p$，而 $\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ 和 $\mathbb {C}$ 的特征为 0。

有时，人们将 $\mathbb {Z}$ 在上述典范同态下的像称为 $F$ 的*素域*。因此，有限域的素域是（同构于）$\mathbb {Z} _{p}$ （其中 $p$ 是 $F$ 的特征），而特征为 0 的域的素域是（同构于）$\mathbb {Q}$。

域扩张

定义（域扩张）

设 $F$ 和 $G$ 是域。如果 $F\subseteq G$ 并且存在一个从 $F$ 到 $G$ 的嵌入，则 $G$ 是 $F$ 的域扩张。

设 $G$ 是 $F$ 的一个扩张。由于我们可以用 $F$ 的元素通过 $G$ 上的乘法来缩放 $G$ 的元素，$G$ 在 $F$ 上构成一个向量空间（可以验证向量空间的所有公理都成立）。该向量空间的维数是扩张的次数，$[G:F]$。如果次数是有限的，则 $G$ 是 $F$ 的有限扩张，并且 $G$ 在 F 上的次数为 $n=[G:F]$。

示例

• 复数 $\mathbb {C}$ 是实数 $\mathbb {R}$ 的域扩张。该扩张的次数为 2。
• 类似地，可以将虚数 $i$ 添加到有理数域 $\mathbb {Q}$ 中，形成高斯有理数域 $\mathbb {Q} (i)$。这也是一个 2 次扩张。
• 实数 $\mathbb {R}$ 形成关于 $\mathbb {Q}$ 的域扩张，但这 不是 有限扩张，因为实数关于 $\mathbb {Q}$ 不构成有限维（甚至可数无限维）向量空间。

代数扩张

定义（代数扩张）

令 $K$ 是 $F$ 的扩张。那么， $\lambda \in K$ 关于 $F$ 是 **代数** 的，如果存在一个非零多项式 $f(x)\in F[x]$ 使得 $f(\lambda )=0$。 $K$ 是 $F$ 的 **代数扩张**，如果 $K$ 是 $F$ 的扩张，使得 $K$ 中的每个元素关于 $F$ 都是代数的。

例如，$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ 是 $\mathbb {Q}$ 上的代数扩张（如果 $a+b{\sqrt {2}}$ 是 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ 中的任何元素，那么它是 $f(x)=(x-a)^{2}-2b^{2}$ 的根），但 $\mathbb {R}$ 不是 $\mathbb {Q}$ 上的代数扩张，因为例如 $\pi$ 不是任何有理多项式的根（这是一个非常难证明的命题）。

定义（极小多项式）

如果 $x$ 是 $F$ 上的代数元素，那么 $F[x]$ 中以 $x$ 为根的多项式集合是 $F[x]$ 的一个理想。这是一个主理想整环，因此该理想由一个唯一的首一非零多项式 $m(x)$ 生成。我们将 $m(x)$ 定义为极小多项式。

例如，$i$ 的最小多项式是 $x^{2}+1$，而 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 的最小多项式是 $x^{3}-2$，两者都在 $\mathbb {Q}$ 上。请注意，最小多项式很大程度上依赖于它所在的域。${\sqrt[{3}]{2}}$ 在 $\mathbb {R}$ 上的最小多项式仅仅是 $x-{\sqrt[{3}]{2}}$。

分裂域

我们在这项研究中的主要目标是找到给定多项式的根。伽罗瓦和伽罗瓦理论的精彩见解是通过观察域扩张来（尝试）回答这个问题。以下两个引理可能有助于激发这种推理。

引理 4.1.2

假设 $F$ 是一个域，$f(x)\in F[x]$ 是一个多项式。那么存在一个（有限）域扩张 $E$ 的 $F$，使得 $E$ 包含 $f(x)$ 的一个根。

Proof. Suppose first that $f(x)$ is irreducible. Then we can take $E=F[x]/(f(x))$. We know that $E$ is indeed a field because $f(x)$ is irreducible. Moreover it contains an isomorphic copy of $F$ as the (equivalence classes of) the constant polynomials. Finally $[x]$, the equivalence class of the linear polynomial $x$, is a root of $f(x)$ since $$f([x])=[f(x)]=0\in F[x]/(f(x))$$Finally the degree of $E$ over $F$ is exactly the degree of the polynomial $f(x)$ (which hopefully motivates the terminology). This is due to the division algorithm. Suppose $g(x)$ is any polynomial in $F[x]$. Then we know by the division algorithm that there exist unique polynomials $q(x)$ and $r(x)$ such that $$g(x)=q(x)f(x)+r(x)$$where $\deg(r(x))<\deg(f(x))$. In particular, this means every equivalence class $[g(x)]$ contains a unique representative whose degree is less than $\deg(f(x))$. Therefore $E$ is spanned by $\{1,[x],[x^{2}],\dots ,[x^{n-1}]\}$ where $n=\deg(f(x))$. If $f(x)$ is not irreducible then it can be written as a product of irreducibles and applying the above process to any of these produces an extension which contains a root of at least one of these irreducible polynomials and hence contains a root of $f(x)$.    $\blacksquare$

我们知道 $x^{2}+1$ 在 $\mathbb {R}$ 上不可约，因此 $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ 是一个域，可以验证这个域同构于 $\mathbb {C}$。事实上，有时人们将复数定义为这个商环 $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$。

引理 4.1.3

假设 $E$ 是一个域 $F$ 的扩张。设 $f(x)$ 是 $F[x]$ 中的一个不可约多项式，使得 $E$ 包含 $\alpha$，它是 $f(x)$ 的一个根。设 $F(\alpha )$ 是 $E$ 中包含 $F$ 和 $\alpha$ 的最小子域。那么 $F(\alpha )\cong F[x]/(f(x))$。

证明。 通过包含 $F$ 和 $\alpha$ 的最小子域，我们的意思是 $E$ 中所有包含它们子域的交集。这个子域的集合非空，因为它包含 $E$ 作为例子，并且很容易看出子域的交集仍然是一个子域。

如果 $f(x)$ 的次数为 1，那么我们就完成了，因为这意味着 $\alpha \in F$，所以 $F(\alpha )=F$，根据引理 4.1.1 末尾的论证，我们有 $F[x]/(f(x))\cong F$。然后我们可以假设 $\deg(f(x))\geq 2$。

为了证明同构性，我们定义一个环同态 $${\begin{aligned}\varphi :F[x]&\to F(\alpha )\\g(x)&\mapsto g(\alpha )\end{aligned}}$$ 换句话说，$\varphi$ 对多项式进行操作，方法是简单地将它们在 $\alpha$ 处进行求值。根据定义，我们知道 $f(x)\in {\textrm {ker}}(\varphi )$，因为 $f(\alpha )=0$。由于 $f(x)$ 根据假设是不可约的，因此它也必须生成内核（否则它将是内核生成器的非平凡倍数）。然后根据第一同构定理，我们知道 $F[x]/(f(x))$ 同构于 $F(\alpha )$ 的一个子域。请注意，$F[x]/(f(x))$ 包含 $F$ 作为常数多项式的像，并且它包含 $\alpha$ 作为 $x$ 的像。根据假设，$F(\alpha )$ 是包含这两者的最小子域，因此我们必须有 $F[x]/(f(x))\cong F(\alpha )$。     $\blacksquare$

上面的第一个引理告诉我们，我们总是可以通过对不可约多项式取模来找到一个包含该多项式根的域扩张。第二个引理告诉我们，任何包含解的域扩张都具有这种形式（同构）。因此，我们将花费大量时间来研究域上的多项式环及其商空间。

人们通常将 $F(\alpha )$ 视为将根 $\alpha$ “加入” 到域 $F$ 中。粗略地说，我们将 $\alpha$ 添加到域中，然后在域运算下闭合它，还添加所有可能的和、积、逆等等，以及 $\alpha$ 满足给定多项式的附加条件。事实上，这正是前一个引理中的构造所做的。

引理 4.1.3 的一个重要结果是，不可约多项式的根在代数上是不可区分的（这在定理 4.1.4 中得到了精确说明，特别是其推论 4.1.5）。例如，我们知道 ${\sqrt {2}}$ 和 $-{\sqrt {2}}$ 都是 $x^{2}-2$ 的解。这两个根之间没有代数上的区别；要区分它们，我们需要拓扑信息，例如 $-{\sqrt {2}}<0$ 和 ${\sqrt {2}}>0$ 的事实。类似地，$i$ 和 $-i$ 都是 $x^{2}+1$ 的解。交换这些根正是导致复共轭的原因。（不可约）多项式的根彼此等价是伽罗瓦理论的关键思想之一。

定理 4.1.4

设 $F,{\widetilde {F}}$ 为域，$f(x)\in F[x]$ 为不可约多项式。设 $\varphi :F\to {\widetilde {F}}$ 为域同构。设 ${\widetilde {f}}(x)$ 为多项式 $\varphi _{*}(f(x))$。设 $\alpha$ 为 $f(x)$ 的根（在 $F$ 的某个扩张域中），设 $\beta$ 为 ${\widetilde {f}}(x)$ 的根（在 ${\widetilde {F}}$ 的某个扩张域中）。那么存在同构 $\sigma :F(\alpha )\to {\widetilde {F}}(\beta )$，它在 $F$ 上与 $\varphi$ 相一致。

证明。 由于 $\varphi$ 是一个同构，并且 $f(x)$ 是不可约的，我们必须有 ${\widetilde {f}}(x)$ 也是不可约的（因为如果我们有 ${\widetilde {f}}(x)=g_{1}(x)g_{2}(x)$ 那么 $f(x)=(\varphi ^{-1})_{*}(g_{1}(x))\cdot (\varphi ^{-1})_{*}(g_{2}(x))$ 这将与 $f(x)$ 的不可约性相矛盾）。 那么 $f(x)$ 和 ${\widetilde {f}}(x)$ 在各自的环中生成极大理想，环同构 $\varphi _{*}$ 降到商的同构（域）上$$F[x]/(f(x))\to {\widetilde {F}}[x]/({\widetilde {f}}(x))$$ 我们根据前一个定理知道，定义域同构于 $F(\alpha )$，陪域同构于 ${\widetilde {F}}(\beta )$，并且此映射在 $F$ 上与 $\varphi$ 一致，这是由构造得到的。     $\blacksquare$

推论 4.1.5

设 $F,{\widetilde {F}}$ 为域， $f(x)\in F[x]$ 为不可约多项式。假设 $\alpha ,\beta$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 的某些（可能不同的）扩张域中的根。那么 $F(\alpha )\cong F(\beta )$。

证明。 将前一个定理应用于 $F={\widetilde {F}}$ 和 $\varphi$ 为恒等映射的情况。

定义（分裂域）

设 $F$ 为域， $f(x)\in F[x]$ 且 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ 是 $f(x)$ 的根。那么，$F$ 的最小扩张域 $E$，它包含 $a_{1},...,a_{n}$，被称为 $f(x)$ 关于 $F$ 的分裂域。换句话说，$E$ 的任何真子域都不包含 $F$ 和所有 $a_{1},\dots ,a_{n}$。

分裂域的存在性和唯一性

我们将看到，与其考虑任意的域扩张，分裂域将是我们需要考虑的东西。首先，我们需要知道它们总是存在的。

定理 4.1.6

令 $F$ 为域，且 $f(x)\in F[x]$ 为多项式。则存在一个域扩张 $E$ 的 $F$ 是 $f(x)$ 的分裂域。

Proof. This is a largely uninteresting case of proof by induction. We will induct on the degree of $f(x)$. If $f(x)$ is linear, then clearly its roots (in fact just the one root) is contained in $F$ so $F$ itself is a splitting field. Suppose $\deg(f(x))>1$. If $f(x)$ splits into the product of linear terms, then again all the roots are contained in $F$, so we already have a splitting field. So suppose $f(x)$ has an irreducible factor of degree at least 2. Then there exists a field extension $E_{1}$ containing a root $\alpha$ of $f(x)$. Then in $E_{1}$, we can factorise the polynomial into $f(x)=(x-\alpha )f_{1}(x)$ where $f_{1}(x)$ is a polynomial of degree $\deg(f(x))-1$. Then by induction there exists $E_{2}$ a field extension of $E_{1}$ that is a splitting field of $f_{1}(x)$. Therefore $E_{2}$ is a field extension of $F$ that contains all the roots of $f(x)$. Taking the intersection of all subfields of $E_{2}$ containing $F$ and the roots of $f(x)$ gives us $E$, a splitting field of $f(x)$. $\blacksquare$

上面我们小心地说是 $f(x)$ 的 一个 分裂域。事实上，这是一个不必要的预防措施，因为多项式的分裂域在同构意义下是唯一的。这遵循了定理 4.1.4 的推广，其中我们声称定理的陈述即使我们将多项式的所有根都并入，而不是仅仅并入一个，也成立。

定理 4.1.7

令 $F,{\widetilde {F}}$ 为域，且 $f(x)\in F[x]$ 为多项式。令 $\varphi :F\to {\widetilde {F}}$ 为域同构。令 ${\widetilde {f}}(x)$ 为多项式 $\varphi _{*}(f(x))$。令 $E$ 为 $f(x)$ 的分裂域，且 ${\widetilde {E}}$ 为 ${\widetilde {f}}(x)$ 的分裂域。则存在一个同构 $\sigma :E\to {\widetilde {E}}$ 与 $\varphi$ 在 $F$ 上一致。

Proof. This is once again a proof by induction on the degree of $f(x)$. If $f(x)$ is of degree 1 or indeed splits into factors of degree 1 then the splitting field of $f(x)$ is $F$ so we can take $\sigma =\varphi$. Thus suppose $f(x)$ has an irreducible factor $p(x)$ of degree at least 2 so ${\widetilde {p}}(x)=\varphi _{*}(p(x))$is an irreducible factor of ${\widetilde {f}}(x)$. Then by the previous theorem we know $\varphi$ extends to an isomorphism $\psi :F(\alpha )\to {\widetilde {F}}(\beta )$ where $\alpha$ is a root of $p(x)$ and $\beta$ is a root of ${\widetilde {p}}(x)$. Therefore over $F(\alpha )$ and ${\widetilde {F}}(\beta )$ respectively we can write $f(x)=(x-\alpha )f_{1}(x)$ and ${\widetilde {f}}(x)=(x-\beta ){\widetilde {f}}_{1}(x)$. Notice that $E$ is a splitting field of $f_{1}(x)$ over $F(\alpha )$. Indeed if a splitting field was strictly contained within $E$, then it would contain all the roots of $f_{1}(x)$ and $\alpha$ and hence would contain all the roots of $f(x)$. But this would contradict $E$ being a splitting field of $f(x)$. Of course the same holds true for ${\widetilde {f}}_{1}(x)$ over ${\widetilde {F}}(\beta )$. Since $f_{1}(x)$ and ${\widetilde {f}}_{1}(x)$ have degree strictly less than $\deg(f(x))$, by induction we can assume that the statement of theorem holds for them. In particular, $\psi$ extends to an isomorphism $\sigma :E\to {\widetilde {E}}$. But since $\psi$ was an extension of $\varphi$, $\sigma$ must also be an extension of $\varphi$ concluding the proof.    $\blacksquare$

推论 4.1.8

令 $F$ 为一个域，且 $f(x)\in F[x]$ 为一个多项式。如果 $E,{\widetilde {E}}$ 是 $f(x)$ 的分裂域，那么它们是同构的。

证明。 将定理 4.1.7 应用于 $F={\widetilde {F}}$ 和 $\varphi$ 为恒等映射的情况。     $\blacksquare$

有限域的分类

定理 4.1.9

如果 $F$ 是一个有限域，那么 $\mid F\mid =p^{n}$ 对于某个素数 $p$ 和自然数 $n$ 成立。

证明。 由于 $F$ 是一个有限域，我们知道它的素域是 $\mathbb {Z} _{p}$，其中 $p$ 是一个素数。素域是 $F$ 的子域，因此 $F$ 构成一个在 $\mathbb {Z} _{p}$ 上的向量空间。由于 $F$ 是有限的，它一定是有限维向量空间，特别是我们必须有 $F\cong (\mathbb {Z} _{p})^{n}$，其中 $n$ （作为向量空间），因此 $\mid F\mid =p^{n}$。     $\blacksquare$

定理（F 中的每个成员都是 $x^{p^{n}}-x$ 的根）

令 $F$ 是一个域，使得 $\left\vert F\right\vert =p^{n}$，那么每个成员都是多项式 $x^{p^{n}}-x$ 的根。

证明：考虑 $F^{*}=F/{0}$ 作为乘法群。然后根据拉格朗日定理， $\forall x\in F^{*},x^{p^{n}-1}=1$。因此，乘以 $x$ 会得到 $x^{p^{n}}=x$，这对所有 $x\in F$ 都是成立的，包括 $0$。

定理（$x^{p}-x$ 的根是不同的）

令 $x^{p}-x$ 是在 $E$ 上的 $\mathbb {Z} _{p}$ 的分裂域中的一个多项式，那么它的根 $a_{1},...a_{n}$ 是不同的。