抽象代数/分数域

我们从经验中知道，我们通过考虑两个整数的商的概念，得到了分数的概念。这背后的动机仅仅是为每个非零元素得到一个乘法逆元。因此，我们可以考虑一个整环 R 并构造它的分数域。然而，我们也可以尝试对任何交换环做到这一点，即使它有除 0 之外的零因子。需要稍微改变一下，因为我们不能定义 ${\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}$ 当 bd=0 时。因此，如果 b 和 d 在乘法中是零因子，我们必须设置限制。在这种情况下，它被称为环的局部化。

定义

一个交换环 R 的乘法子集是一个不包含 0，包含 1 且在乘法下封闭的子集。乘法集的一些例子是整环中非零元素的集合，交换环中不是零因子的元素的集合，以及 R\P，其中 P 是交换环 R 的素理想。

设 S 为乘法子集。我们将考虑笛卡尔积 R×S。在这个积上定义等价关系：(a,b)~(c,d) 当且仅当存在一个 s 使得 s(ad-bc)=0。

如果它是一个整环，那么 (a,b) 可以被视为 a/b。现在检查它是否是一个等价关系，很明显它是自反的和对称的。为了证明它是传递的，设 (a,b)~(c,d) 且 (c,d)~(e,f)。那么在 S 中存在元素 s 和 t 使得 s(ad-bc)=0 且 t(cf-de)=0。这意味着 stfad-stfbc=0 且 sbtcf-sbtde=0。将两者相加，我们得到 stfad-sbtde=0，或 std(af-be)=0，这意味着 (a,b)~(e,f)。

因此，我们可以使用这些等价类来定义分数：${\frac {a}{b}}$ 是包含 (a,b) 的等价类。

现在我们把它设置为一个环。首先，我们将加法定义为 ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$，乘法定义为 ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$。加法单位元是 ${\frac {0}{1}}$，加法逆元是 ${\frac {-a}{b}}$。乘法单位元就是 ${\frac {1}{1}}$。

现在我们将在下面证明它确实是一个环

定理

用定义的加法和乘法，分数的集合是一个交换环，如果 R 是一个整环，那么分数也是。并且如果 S 额外地是 R\{0}，那么分数的集合是一个域。

证明

首先，我们注意到

1. $({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}})+{\frac {e}{f}}={\frac {ad+bc}{bd}}+{\frac {e}{f}}={\frac {(ad+bc)f+bde}{bdf}}={\frac {adf+b(cf+de)}{bdf}}={\frac {a}{b}}+{\frac {cf+de}{df}}={\frac {a}{b}}+({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}})$
2. ${\frac {a}{b}}+{\frac {0}{1}}={\frac {a\cdot 1+b\cdot 0}{b\cdot 1}}={\frac {a}{b}}$
3. $\forall c\in S:1_{R}(0\cdot 1-0\cdot c)=0\Rightarrow {\frac {0}{1}}={\frac {0}{c}}(*)$ 因此 ${\frac {a}{b}}+{\frac {-a}{b}}={\frac {ab+b(-a)}{bb}}={\frac {0}{bb}}={\frac {0}{1}}$

，由此可知 $(R\times S,+)$ 是一个群。

由于 S 和 R 中的和的定义是可交换的，因此它是阿贝尔群。

此外， $(R\times S,\cdot )$ 是一个幺半群，因为

1. ${\frac {1}{1}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {1a}{1b}}={\frac {a}{b}}$
2. 以及 $({\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}})\cdot {\frac {e}{f}}={\frac {ace}{bdf}}={\frac {a}{b}}\cdot ({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {e}{f}})$，其中两个（不难的）中间步骤留给读者。

同时，分配律也成立，因为

${\frac {a}{b}}\left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)=\left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right){\frac {a}{b}}={\frac {acf+ade}{bdf}}$ 以及

${\frac {acf+ade}{bdf}}={\frac {acbf+adbe}{bdfb}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}$

，这表明我们确实找到了一个环。

由于 S 和 R 中的乘积的定义是可交换的，因此该环是可交换的。

现在设 R 为一个整环，并设 ${\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\in S$。 然后，由于 $(*)$ 并且因为 $bd\in S$，${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}=0\Leftrightarrow {\frac {ac}{bd}}=0\Leftrightarrow {\frac {ac}{bd}}={\frac {0}{bd}}\Leftrightarrow \exists s\in S:s(ac\cdot bd-0\cdot bd)=sacbd=0$。 然而，由于假设 R 为一个整环，并且 $s,b,d\neq 0$ 由于 $s,b,d\in S$，最后一个语句与 $\exists s\in S:a=0\vee c=0$ 等价，后者又与 $\exists s\in S:sab=s(ab-0b)=0\vee \exists s\in S:scd=s(cd-0d)=0$ 等价，而这与 ${\frac {a}{b}}=0\vee {\frac {c}{d}}=0$ 等价，这表明如果 R 是一个整环，则分数集也是一个整环。

现在假设 S = R \ {0}，并且 ${\frac {a}{b}}\neq 0\Leftrightarrow a\neq 0$，其中最后一个等价关系是由于 (*) 和 ${\frac {a}{b}}=0\Leftrightarrow \exists s\in S:s(a1-b0)=as1=as=0\Leftrightarrow a=0$，其中最后一个等价关系是由于 R 是一个整环，并且 S 不包含零。那么 $ab\neq 0$，因为 R 是一个整环，因此 $ab\in S$，因为 S = R \ {0}，并且 ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}$。但是由于 $\forall s\in S:s(ab1-ba1)=0$，我们有 ${\frac {ab}{ab}}=1$，并且 ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1$，因此，考虑到我们假设 R 是可交换的，我们可以得出 R\{0} 中的每个元素都是可逆的。

由此可知，分数集确实是一个域，因为我们已经检查了所有域公理，证毕。