抽象代数/函数

定义

一个函数 $\operatorname {f}$ 是一个三元组 $(A,B,G)$ 使得

• $A$ 是一个集合，称为 $\operatorname {f}$ 的定义域
• $B$ 是一个集合，称为 $\operatorname {f}$ 的陪域
• $G$ 是 $A\times B$ 的一个子集，称为 $\operatorname {f}$ 的图

此外，以下两个性质成立

1. $\forall x\in A,\exists y\in B\mid (x,y)\in G$.
2. $\forall x\in A,y\in B,y'\in B{\mbox{, then }}(x,y)\in G{\mbox{ and }}(x,y')\in G\Rightarrow y=y'$.

$\forall x\in A$ 我们写作 $\operatorname {f} (x)$ 代表唯一一个 $y\in B$ 使得 $(x,y)\in G$.

我们说 $\operatorname {f}$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个函数，我们写作

$\operatorname {f} :A\rightarrow B$

示例

让我们考虑一个实数到实数的函数，它对它的参数进行平方运算。我们可以这样定义它

$\operatorname {f} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

$\operatorname {f} :x\mapsto x^{2}$

备注

正如你在上面函数定义中看到的，定义域和陪域是定义的组成部分。换句话说，即使 $\operatorname {f} (x)$ 的值没有改变，改变定义域或陪域也会改变函数。

让我们看一下下面的四个函数。

函数

$\operatorname {f_{1}} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

$\operatorname {f_{1}} :x\mapsto x^{2}$

既不是单射也不是满射（这些术语将在后面定义）。

函数

$\operatorname {f_{2}} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

$\operatorname {f_{2}} :x\mapsto x^{2}$

不是单射但满射。

函数

$\operatorname {f_{3}} :\mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R}$

$\operatorname {f_{3}} :x\mapsto x^{2}$

是单射但不是满射。

函数

$\operatorname {f_{4}} :\mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

$\operatorname {f_{4}} :x\mapsto x^{2}$

是单射和满射

正如你看到的，所有四个函数都有相同的映射，但所有四个函数都是不同的。这就是为什么仅仅给出映射是不够的；只有在知道函数的定义域和陪域的情况下才能定义函数。

像和原像

对于一个集合 $E$，我们用 ${\mathcal {P}}(E)$ 表示 $E$ 的所有子集的集合。

令 $\operatorname {f} :A\rightarrow B$。我们现在定义两个相关的函数。

像 函数

$\operatorname {f} :{\mathcal {P}}(A)\rightarrow {\mathcal {P}}(B),S\subseteq A\mapsto \{\operatorname {f} (x)\mid x\in S\}$

原像 函数

$\operatorname {f^{-1}} :{\mathcal {P}}(B)\rightarrow {\mathcal {P}}(A),T\subseteq B\mapsto \{x\in A\mid \operatorname {f} (x)\in T\}$

需要注意的是，像和原像分别写成 $\operatorname {f}$ 及其逆（如果存在）。但是，由于定义域不同，因此不会产生歧义。还需要注意的是，像和原像不一定是彼此的逆。（参见下面的双射函数部分）。

我们定义 $\operatorname {Im} _{\operatorname {f} }:=\operatorname {f} (A)$，我们称之为 $\operatorname {f}$ 的像。

对于任何 $y\in B$，我们称 $\operatorname {f^{-1}} (\{y\})$ 为 $y$ 的支撐。

命題：令 $\operatorname {f} :A\rightarrow B$。那么

1. $\forall S\subseteq A,S\subseteq f^{-1}(f(S))$
2. $\forall T\subseteq B,f(f^{-1}(T))\subseteq T$

示例

我们再次以函数为例

$\operatorname {f} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

$\operatorname {f} :x\mapsto x^{2}$

让我们考虑以下例子

$\operatorname {f^{-1}} (\{4\})=\{-2,2\}$

$\operatorname {f^{-1}} (\mathbb {R} _{<0})=\emptyset$

$\operatorname {f} (\mathbb {R} _{\geq 0})=\mathbb {R} _{\geq 0}$

进一步定义

设 $\operatorname {f} :B\rightarrow C$ 和 $\operatorname {g} :A\rightarrow B$。我们定义 $\operatorname {f} \circ \operatorname {g} :A\rightarrow C$ 为 $(\operatorname {f} \circ \operatorname {g} )(x):=\operatorname {f} (\operatorname {g} (x))$，我们称之为 $\operatorname {f}$ 和 $\operatorname {g}$ 的 **复合**。

设 $A$ 为一个集合。我们定义 A 上的 **恒等函数** 为

$\operatorname {id_{A}} :A\rightarrow A,x\mapsto x$

性质

定义：函数 $\operatorname {f} :A\rightarrow B$ 是 **单射** 的，如果

$\forall x\in A,x'\in A,\operatorname {f} (x)=\operatorname {f} (x')\Rightarrow x=x'$

引理：考虑一个函数 $\operatorname {f} :A\rightarrow B$ 并假设 $A\neq \emptyset$。那么 $\operatorname {f}$ 是单射当且仅当存在一个函数 $\operatorname {g} :B\rightarrow A$，满足 $\operatorname {g} \circ \operatorname {f} =\operatorname {id_{A}}$。
证明:
$'\Rightarrow '$:
假设 $\operatorname {f}$ 是单射。由于 $A\neq \emptyset$，我们可以定义 $m$ 为 $A$ 中的任意元素。我们可以定义一个合适的函数 $\operatorname {g} :B\rightarrow A$ 如下

$\operatorname {g} (y):=\left\{{\begin{array}{ll}{\mbox{the unique }}x\in A\mid \operatorname {f} (x)=y&{\text{, if }}y\in \operatorname {Im} _{\operatorname {f} }\\m&{\text{, else}}\\\end{array}}\right.$

现在很容易验证 $\operatorname {g} \circ \operatorname {f} =\operatorname {id_{A}}$。
$'\Leftarrow '$:
假设存在一个函数 $\operatorname {g} :B\rightarrow A$，满足 $\operatorname {g} \circ \operatorname {f} =\operatorname {id_{A}}$。那么，$\forall x,x'\in A,\operatorname {f} (x)=\operatorname {f} (x')\Rightarrow \operatorname {g} (\operatorname {f} (x))=\operatorname {g} (\operatorname {f} (x'))\Rightarrow x=x'$。因此，$\operatorname {f}$ 是单射。
证毕。

定义：如果函数 $\operatorname {f} :A\rightarrow B$ 满足以下条件，则称它为满射。

$\forall y\in B,\exists x\in A\mid \operatorname {f} (x)=y$

引理：考虑函数 $\operatorname {f} :A\rightarrow B$。则 $\operatorname {f}$ 是满射当且仅当存在一个函数 $\operatorname {g} :B\rightarrow A$，满足 $\operatorname {f} \circ \operatorname {g} =\operatorname {id_{B}}$。
证明:
$'\Rightarrow '$:
假设 $\operatorname {f}$ 是满射。我们可以定义一个合适的函数 $\operatorname {g} :B\rightarrow A$ 如下

$\operatorname {g} (y):={\mbox{an }}x\in A\mid \operatorname {f} (x)=y$

现在很容易验证$\operatorname {f} \circ \operatorname {g} =\operatorname {id_{B}}$.
$'\Leftarrow '$:
假设存在一个函数$\operatorname {g} :B\rightarrow A$，其中$\operatorname {f} \circ \operatorname {g} =\operatorname {id_{B}}$。那么$\forall y\in B{\mbox{, let }}x:=\operatorname {g} (y)$。 那么$\operatorname {f} (x)=\operatorname {f} (\operatorname {g} (y))=y$。 $\operatorname {f}$ 因此是满射的。
证毕。

定义：一个函数$\operatorname {f} :A\rightarrow B$ 是双射的，如果它是单射和满射的。

引理：一个函数$\operatorname {f} :A\rightarrow B$ 是双射的，当且仅当存在一个函数$\operatorname {g} :B\rightarrow A$，其中$\operatorname {g} \circ \operatorname {f} =\operatorname {id_{A}}$ 且$\operatorname {f} \circ \operatorname {g} =\operatorname {id_{B}}$。此外，可以证明这样的$\operatorname {g}$ 是唯一的。我们将其写作$\operatorname {f^{-1}} :B\rightarrow A$ 并称之为$\operatorname {f}$ 的逆函数。
证明:
留作习题。

命题：考虑一个函数$\operatorname {f} :A\rightarrow B$。那么

1. $f$ 是单射的当且仅当 $\forall S\subseteq A,f^{-1}(f(S))=S$
2. $f$ 是满射的当且仅当 $\forall T\subseteq B,f(f^{-1}(T))=T$
3. $f$ 是双射的当且仅当 $f$ 的像和原像互为逆。

示例： 如果 $A$ 和 $B$ 是集合，满足 $B\subseteq A$，则存在一个显然的单射函数 $i\,:\,B\rightarrow A$，被称为包含 $B\subseteq A$，使得对于所有 $b\in B$，$i(b)=b$。

示例： 如果 $\sim$ 是集合 $X$ 上的等价关系，则存在一个显然的满射函数 $\pi \,:\,X\rightarrow X/\sim$，被称为到 $X/\sim$ 的典型投影，使得对于所有 $x\in X$，$\pi (x)=[x]$。

定理： 定义等价关系 $\sim$ 在 $A$ 上，使得 $a\sim b$ 当且仅当 $f(a)=f(b)$。那么，如果 $f:A\rightarrow B$ 是任何函数，$f$ 可以分解为以下复合函数：

$A{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}A/\sim {\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}\mathrm {im} f{\stackrel {i}{\longrightarrow }}B$

其中 $\pi$ 是典范投影，$i$ 是包含映射 $\mathrm {im} \,f\subseteq B$，而 ${\tilde {f}}$ 是双射，对于所有 $a\in A$，有 ${\tilde {f}}([a])=f(a)$。

证明：${\tilde {f}}$ 的定义直接意味着 $f=i\circ {\tilde {f}}\circ \pi$，因此我们只需要证明 ${\tilde {f}}$ 是良定义且双射。设 $a,a^{\prime }\in A$。那么 $[a]=[a^{\prime }]\,\Rightarrow \,a\sim a^{\prime }\,\Rightarrow \,f(a)=f(a^{\prime })$。这表明 ${\tilde {f}}([a])$ 的值与从 $[a]$ 中选择的代表无关，因此它是良定义的。

对于单射性，我们有 ${\tilde {f}}([a])={\tilde {f}}([a^{\prime }])\,\Rightarrow \,f(a)=f(a^{\prime })\,\Rightarrow \,[a]=[a^{\prime }]$，所以 ${\tilde {f}}$ 是单射。

为了证明满射性，假设 $b\in \mathrm {im} \,f$。则存在一个 $a\in A$ 使得 $f(a)=b$，因此根据 ${\tilde {f}}$ 的定义，有 ${\tilde {f}}([a])=b$。由于 $b$ 在 $\mathrm {im} \,f$ 中是任意的，这证明了 ${\tilde {f}}$ 是满射。

证毕。

定义： 给定一个函数 $f\,:\,X\rightarrow Y$，$f$ 是

(i) 单射，如果给定任意两个函数 $g,h\,:\,W\rightarrow X$ 使得 $f\circ g=f\circ h$，则 $g=h$。

(ii) 满射，如果给定任意两个函数 $g,h\,:\,Y\rightarrow Z$ 使得 $g\circ f=h\circ f$，则 $g=h$。

定理： 集合之间的函数是

(i) 单射当且仅当它是单射的。

(ii) 满射当且仅当它是满射的。

证明: (i) 设$f\,:\,B\rightarrow C$ 是一个单态射。那么，对于任何两个函数$g,h\,:\,A\rightarrow B$，$f(g(a))=f(h(a))\,\Rightarrow \,g(a)=h(a)$ 对于所有$a\in A$。这是单射性的定义。反之，如果$f$ 是单射的，它有一个左逆$f^{\prime }$。因此，如果$f(g(a))=f(h(a))$ 对于所有$a\in A$，在左边与$f^{\prime }$ 合成得到$g(a)=h(a)$，因此$f$ 是一个单态射。

(ii) 令 $f\,:\,A\rightarrow B$ 为一个满同态。那么对于任意两个函数 $g,h\,:\,B\rightarrow C$， $g(f(a))=h(f(a))\,\Rightarrow \,g(b)=h(b)$ 对所有 $a\in A$ 和 $b\in B$ 成立。假设 $\mathrm {im} f\neq B$，即 $f$ 不是满射。那么至少存在一个 $b\in B$ 不在 $\mathrm {im} \,f$ 中。对于这个 $b$，选择两个在 $\mathrm {im} \,f$ 上重合但在 $\{b\}$ 上不同的函数 $g,h$。然而，我们仍然有 $g(f(a))=h(f(a))$ 对所有 $a\in A$ 成立。这违反了我们假设 $f$ 是满同态的假设。因此，$f$ 是满射。反之，假设 $f$ 是满射。那么满同态性质直接得出。

证毕。

备注: 单同态与单射，满同态与满射之间的等价性是集合之间函数的一个特殊性质。在一般情况下，这不是真的，我们将在后面部分讨论群或环之间的结构保持函数时看到这个性质的例子。

示例： 给定任意两个集合 $A$ 和 $B$，我们有正则投影 $\pi _{A}\,:\,A\times B\rightarrow A$ 将 $(a,b)$ 映射到 $a$，以及 $\pi _{B}\,:\,A\times B\rightarrow B$ 将 $(a,b)$ 映射到 $b$。这些映射显然是满射的。

此外，我们还有自然包含 $i_{A}\,:\,A\rightarrow A\coprod B$ 和 $i_{B}\,:\,B\rightarrow A\coprod B$，如上所述，它们显然是单射的。

泛性质

上面描述的投影和包含是特殊的，因为它们满足被称为泛性质的东西。我们将在下面给出定理。证明留给读者。

定理： 设 $A,B,C$ 为任意集合。

(i) 设 $f\,:\,C\rightarrow A$ 和 $g\,:\,C\rightarrow B$。则存在唯一函数 $u\,:\,C\rightarrow A\times B$ 使得 $f=\pi _{A}\circ u$ 和 $g=\pi _{B}\circ u$ 同时满足。 $u$ 有时记为 $f\times g$.

(ii) 令 $f\,:\,A\rightarrow C$ 和 $g\,:\,B\rightarrow C$。那么存在一个 *唯一* 函数 $u\,:\,A\coprod B\rightarrow C$ 使得 $f=u\circ i_{A}$ 和 $g=u\circ i_{B}$ 同时满足。

商集上的典型投影也满足一个普遍性质。

定理： 定义等价关系 $\sim$ 在 $X$ 上，令 $f\,:\,X\rightarrow Y$ 为任何函数，使得 $a\sim b\,\Rightarrow \,f(a)=f(b)$ 对于所有 $a,b\in X$。那么存在一个 *唯一* 函数 ${\bar {f}}\,:\,X/\sim \rightarrow Y$ 使得 $f={\bar {f}}\circ \pi$，其中 $\pi \,:\,X\rightarrow X/\sim$ 是典型投影。