抽象代数/整环

整环

动机：可除性概念是环论研究的核心。整环是研究可除性和唯一分解性等概念在哪些条件下表现良好的有用工具。事实上，它们对多项式环也很重要。

整环的定义在环页面中已经给出。我们再次给出定义以供参考。

定义一个整环是一个交换环 $R$ ，其中 $1_{R}\neq 0_{R}$ ，使得对于所有 $a,b\in R$ ，语句 $ab=0$ 意味着要么 $a=0$ 或者 $b=0$ 。

一个等价的定义如下

定义给定一个环 $R$ ，一个零因子是一个元素 $a\in R$ ，使得 $\exists x\in R,x\neq 0$ ，使得 $a*x=0_{R}$ 。

定义一个整环是一个交换环 $R$ ，其中 $1_{R}\neq 0_{R}$ ，并且没有非零零因子。

备注整环具有有用的消去性质：令 $R$ 是一个整环，令 $a,b,c\in R$ 其中 $a\neq 0$ 。那么 $ab=ac$ 意味着 $b=c$ 。因此整环有时被称为消去环。

例子

在加法和乘法运算下，整数集 $\mathbb {Z}$ 是一个整环。但是，它不是一个域，因为元素 $2\in {Z}$ 没有乘法逆元。
平凡环 {0} 不是一个整环，因为它不满足 $0\neq 1$ .
整数模 6 的同余类集 $\mathbb {Z} _{6}$ 不是一个整环，因为在 $\mathbb {Z} _{6}$ 中有 $[2]*[3]=[0]$ .

定理：任何域 $F$ 都是一个整环。

证明：假设 $F$ 是一个域，设 $a\in F,a\neq 0$ 。如果对于 $F$ 中的某个 $x$ 有 $ax=0$ ，则乘以 $a^{-1}$ 可得 $ax=0\Rightarrow a^{-1}(ax)=a^{-1}0\Rightarrow 1x=0\Rightarrow x=0$ 。因此， $F$ 不能包含任何零因子。因此， $F$ 是一个整环。 $\square$

定义如果 $R$ 是一个环，那么 $x$ 的幂的多项式集合，其系数来自 $R$ ，也是一个环，称为 $R$ 的多项式环，记为 $R[x]$ 。每个这样的多项式都是有限个项的和，每个项的形式为 $rx^{n}$ ，其中 $r\in R$ 且 $x^{n}$ 代表 $x$ 的 $n$ 次方。多项式的前导项定义为多项式中包含 $x$ 最高次方的项。

备注多项式等于 $0$ 当且仅当它的每个系数都等于 $0$ 。

定理： 令 $R$ 是一个交换环，令 $R[x]$ 是 $x$ 的幂的多项式环，其系数是 $R$ 的元素。那么 $R[x]$ 是一个整环当且仅当 $R$ 是一个整环。

证明如果交换环 $R$ 不是整环，它包含两个非零元素 $a$ 和 $b$ 使得 $ab=0$ 。然后多项式 $ax$ 和 $bx$ 是 $R[x]$ 中的非零元素，并且 $axbx=abxx=0xx=0$ 。因此，如果 $R$ 不是整环，那么 $R[x]$ 也不是整环。

现在令 $R$ 是一个整环，并令 $A$ 和 $B$ 是 $R[x]$ 中的多项式。如果这两个多项式都不为零，则它们都具有非零的最高次项，分别称为 $ax^{m}$ 和 $bx^{n}$ 。这些是多项式 $A$ 和 $B$ 的最高次项意味着这些多项式乘积 $AB$ 的最高次项为 $abx^{m+n}$ 。由于 $R$ 是一个整环，且 $a,b\in R$ ，则 $ab\neq 0$ 。这意味着，根据上面的备注，乘积 $AB$ 也不为零。这意味着 $R[x]$ 是一个整环。

唯一分解整环、主理想整环和欧几里得整环

唯一分解整环、主理想整环和欧几里得整环是仅对整环有效的概念。

一些定义

如果两个环元素 a 和 b 满足 a=ub，其中 u 是单位，则称 a 和 b 是相伴元素，记为 a~b。
如果一个非零非单位元素 a 满足 a=bc（b,c 在整环内）=>a~b 或 a~c，则称 a 是不可约的。
如果 b=ar，其中 r 在 R 内，则称 a 整除 b。当这种情况发生时，记为 a|b。
如果一个非零非单位元素 a 满足 a|bc 意味着 a|b 或 a|c，则称 a 是素元。

定理：如果 a 是素元，则 a 是不可约的。

令 a 是素元，并令 a=bc，所以 a|b 或 a|c。不妨假设 a|b，所以 b=ad，其中 d 是某一元素。然后你可以将 a=bc 分解为 a=adc，这意味着 cd=1，或者 c 是一个单位。

现在我们已经证明了所有素元都是不可约的，那么反过来是否成立？答案是否定的，因为我们可以很容易地得到它的反例。但是，我们将证明一个充分必要条件，即所有不可约元素都是素元。

唯一分解整环

定义：令 R 是一个整环。如果满足以下两个条件：

如果 a 不为零，则 a=up₁p₂...p_n，其中 u 是一个单位，p_i 是不可约的。
令 a=uq₁q₂...q_m 是另一个不可约因子的分解。则 n = m，并且经过适当的重新排序，每个 p_i 和 q_i 都是相伴的。

那么我们称（整环）R 为唯一分解整环（UFD）。

上述定理的反过来在 UFD 中成立。

定理：在 UFD 中，所有不可约元素都是素元。

证明
令 a|bc，其中 a 是不可约的。则 ad=bc，其中 d 是某一元素。取分解式，a = ud₁d₂...d_l = vb₁b₂...b_mwc₁c₂...c_n = bc，其中 u、v 和 w 是单位。因为它是 UFD，a 必须与某个 b_i 或 c_i 相伴，这意味着 a|b 或 a|c。

以下定理给出了一个整环 R 是唯一分解整环的充分必要条件。

定理

设 R 为一个唯一分解整环。R 满足关于**主理想**的**递升链条件**：设 $a_{1},a_{2},a_{3},...$ 是 R 中元素的一个序列，使得主理想 $(a_{1}),(a_{2}),(a_{3}),...$ 满足条件 $(a_{1})\subseteq (a_{2})\subseteq (a_{3})\subseteq ,...$ 。则存在一个 N，使得对于所有 n>N，所有的 $(a_{n})$ 都相同。
如果一个整环 R 满足递升链条件，则每个非零元素都可以分解成不可约元素，这意味着它满足成为唯一分解整环的第一个条件。
如果除了满足递升链条件之外，所有不可约元素都是素数，那么这个整环就是唯一分解整环。

证明

考虑 R 中元素的一个序列 $a_{1},a_{2},a_{3},...$ ，使得 $(a_{1})\subseteq (a_{2})\subseteq (a_{3})\subseteq ,...$ 。那么显然 $a_{n+1}|a_{n}$ 对所有自然数 n 都成立，因为 $a_{n}\in (a_{n+1})$ 。然后由于唯一分解， $a_{n+1}$ 的所有因子都是 $a_{n}$ 的因子的**相伴元素**，包括因子的重数。因此，非单位因子的数量在所有自然数上是递减序列。然而， $a_{1}$ 只有有限个因子，因此存在一个 N，使得对于所有 n>N，所有因子都是 $a_{n}$ 的相伴元素，这意味着所有 $(a_{n})$ 也相同。
显然，任何非零不可约元素 $a_{1}$ 都可以分解成不可约元素，它本身就是一个不可约元素。否则，设 $a_{1}=a_{2}b_{2}$ 是非单位元的乘积。如果这不是不可约元素的乘积，那么假设其中一个不可约，例如 $a_{2}$ 。那么很明显 $a_{2}|a_{1}$ ，因此主理想满足关系 $(a_{1})\subseteq (a_{2})$ 。我们可以以相同的方式分解 $a_{2}$ ，得到 $a_{2}=a_{3}b_{3}$ 作为非单位元的乘积。因此，如果 $a_{1}$ 不能分解成不可约元素，我们可以得到一个递增链 $(a_{1})\subseteq (a_{2})\subseteq (a_{3})\subseteq ...$ 的主理想，这意味着它不满足升链条件。
设 $a=sp_{1}p_{2}p_{3}...p_{n}=rq_{1}q_{2}q_{3}...q_{n}$ ，其中r和s是单位元，每个 $p_{i}$ 和 $q_{i}$ 都是不可约的，因此也是素数。由于 $p_{1}$ 整除a，它整除其中一个因子，并且在适当重新排列第二个分解后， $p_{1}$ 可以整除 $q_{1}$ 。但是， $q_{1}$ 是不可约的，因此它们必须是相伴的，因此可以分解出来并用单位元替换。我们可以继续这个过程，直到没有因子剩下，此时我们得出结论，所有因子都是相伴的。

主理想整环

定义：主理想整环（PID）是一个整环，其中每个理想都可以由单个元素生成（即每个理想都是主理想）。

定理：所有PID都是UFD。

证明:
假设我们有一个主理想的递增链 $(a_{1})\subseteq (a_{2})\subseteq ...$ ，并令 I 为并集 $I=\bigcup _{i=1}^{\infty }(a_{i})$ 。显然 I 是一个理想，并且是一个主理想，因为它在一个 PID 中。因此，它由单个元素生成， $I=(a)$ 。由于 $a\in I$ ， $a\in (a_{N})$ 对于某些 N。然后如果 $i\geq N$ ，那么我们有 $(a)=(a_{N})$ ，因此它满足主理想的递增链条件。

令元素 $a$ 是不可约的。如果 $1\in (a)$ ，那么 $a$ 将是一个单位，因此 (a) 必须是一个真理想。如果没有包含 (a) 的最大真理想，那么递增链条件将不会得到满足，所以我们可以得出结论，存在一个包含 (a) 的最大真理想 I（注意：这不需要 Zorn 引理或选择公理，因为我们没有使用关于最大理想的定理）。这个理想必须是一个主理想 (b)，但是由于 $a\in (b)$ ，b|a，并且由于 $a$ 是不可约的，b 必须是 a 的单位或伴随。由于 (b) 是一个真理想，b 不能是单位，所以它必须是 $a$ 的伴随。因此，(a)=(b)，所以 (a) 是最大的。然而，所有最大理想显然都是素理想，所以 (a) 是一个素理想，这意味着 $a$ 是素数。

定理：UFD 是 PID 当且仅当每个非平凡素理想都是最大的。

证明:
假设 R 是一个 PID，因此它是一个 UFD。令 (a) 是 R 的一个理想，它反过来必须包含在一个最大真理想 (b) 中，这是由于递增链条件（注意：同样，这没有使用 Zorn 引理）。由于 $a\in (b)$ ，b|a。由于 $a$ 是不可约的，b 必须是 a 的单位或伴随。然而，由于 (b) 是一个真理想，它不能是单位，所以它必须是 $a$ 的伴随。因此，(a)=(b)，所以 (a) 是最大的。反之，

欧几里得域

定义：如果存在一个从 R 的非零元素到整数的函数 f，使得对于任何元素 $a\in R$ 和任何非零元素 b，都有 a=bq+r，其中 $q,r\in R$ 且 f(r)<f(b) 或 r=0，则称积分域 R 为欧几里得域（ED）。

注意：在 ED 中，可应用欧几里得算法来求最大公约数。

定理：所有 ED 都是 PID。

证明
假设我们有一个 R 的理想。如果它只包含 0，那么它是主理想。否则，它包含除 0 以外的元素。那么 f(I)，即 I 在 f 下的像，是一个非空的非负整数集。选择该集合中的最小值 x，并考虑映射到该 x 的 I 内的一个元素 b。设 a 为 I 中的另一个元素，则存在 $q,r\in R$ 使得 a=qb+r，且 f(r)<f(b) 或 r=0。由于 a 和 b 都属于 I，因此 r 也必须属于 I，因为 r=a-qb。但是，f(b) 是最小值，因此它必须小于或等于 f(r)。因此，r 必须为 0，所以 a=qb，证明 b 是主理想 (b) 的生成元。