抽象代数/模

动机

设G是一个关于加法的阿贝尔群。我们可以通过 $\mathbb {Z}$ 的元素在G上定义一种乘法，写成 $ng=\underbrace {g+g+\cdots +g} _{n}$ ，其中 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 且 $g\in G$ 。当n为负数时，我们可以将其扩展到 $(-n)g=\underbrace {-g-g-\cdots -g} _{n}$ 。然而，我们希望能够定义群与任意环之间的一种乘法。

定义

定义 1（模）

设R是一个环，M是一个阿贝尔群。如果存在一个函数

R\times M\to M\,:\,(r,m)\mapsto rm

，称为标量乘法，满足

$(r+s)m=rm+sm$ ,
$r(m+n)=rm+rn$ ，以及
$(rs)m=r(sm)$

对所有

r,s\in R,\ m,n\in G

成立。

我们称R为M的标量环。

注意：我们也可以类似地定义右R-模，使用函数 $M\times R\to M\,:\,(m,r)\mapsto mr$ 。特别是，第三个性质变为

m(rs)=(mr)s

注意，如果R是交换环，则这两个概念是重合的，在这种情况下，我们可以简单地说M是一个R-模。

定义 2： 给定任意环 R，我们可以定义它的对立环， $R^{\mathrm {op} }$ ，它与 R 具有相同的元素和加法运算，但乘法相反。它们的乘法规则由 $r\cdot s=sr$ 关联。与群论相反，一般情况下，环与其对立环之间没有同构的理由。

细心的读者会注意到，左 R-模 M 中的标量乘法仅仅是一个环同态 $\phi \,:\,R\to \mathrm {End} (M)$ ，使得 $rm=\phi (r)(m)$ 对于所有 $r\in R\,,\,m\in M$ 成立。我们将验证右 R-模中的标量乘法是一个环同态 $\phi ^{\prime }\,:\,R^{\mathrm {op} }\to \mathrm {End} (M)$ 作为练习留给读者。因此，右 R-模仅仅是左 R^op-模。由此可见，我们对左 R-模制定的所有结果也自动适用于右 R-模。这里没有假设模是幺模，即对于所有 M 中的 m，1m = m。

模的例子

任何环 R 都是它自身上的 R-模。更有趣的是，R 的任何左理想 I 也是一个左 R-模，具有明显的标量乘法。此外，如果 I 是 R 的双边理想，则商环 $R/I$ 是一个 R-模，具有诱导的标量乘法 $r(s+I)=rs+I\,,\,(s+I)r=sr+I$ 。
如果 R 是一个环，则 $n\times m$ 矩阵的集合 $M_{n,m}(R)$ （其元素为 R 中的元素）在逐元素加法和标量乘法下是一个 R-模。更一般地，对于任何集合 X，函数从 X 到 R 的集合 $R^{X}$ （无论是否具有有限支撑）都是一个以明显方式定义的 R-模。
域 k 上的 k-模仅仅是 k-向量空间。
如本章引言所示，任何阿贝尔群都是一个 $\mathbb {Z}$ -模，以自然的方式。（这里的“自然”具有严格的数学含义，稍后将解释。）
设 S 是环 R 的一个子环。则 R 以自然方式是一个 S-模。我们可以将其扩展如下。设 S、R 是环， $\phi \,:\,S\to R$ 是一个环同态。则 R 是一个 S-模，标量乘法为 $sr=\phi (s)r$ 和 $rs=r\phi (s)$ ，对于所有 $s\in S\,,\,r\in R$ 成立。
环 R 的任何矩阵环在逐元素标量乘法下都是一个 R-模。
如果 S 是环 R 的一个子环，则任何左 R-模也是一个左 S-模，具有受限的标量乘法。我们将在后面更一般地讨论这一点。

子模

定义 3： (子模)

给定一个左

R

-模

M

，

M

的一个子模是一个子集

N\subseteq M

，满足

N 是 M 的一个子群，并且
对于所有 $r\in R$ 和所有 $n\in N$ ，我们有 $rn\in N$ 。

上述第二个条件说明子模在 $R$ 的元素左乘下是封闭的；隐含的是它们继承了其包含模的乘法； $R\times N\to N$ 必须是 $R\times M\to M$ 的限制。

示例 4：任何模 M 都是其自身的子模，称为不真子模，零子模仅由 M 的加法单位元组成，称为平凡子模。

示例 5：左理想 I 是 R 的子模，其中 R 被视为 S-模，S 是 R 的任何（不一定真）子环。

引理 6：令 M 为一个左 R-模。则以下等价。

i) N 是 M 的子模

ii) 如果

r_{i}\in R

且

n_{i}\in N

对于所有

i\in I=\{1,\dots ,k\}\,,\,k\in \mathbb {N}

，则

\sum _{i\in I}r_{i}n_{i}\in N

。

iii) 如果

r_{1},r_{2}\in R

且

n_{1},n_{2}\in N

，则

r_{1}n_{1}+r_{2}n_{2}\in N

。

证明：i) => iii)：根据第二个性质， $r_{1}n_{1}$ 和 $r_{2}n_{2}$ 都属于 $N$ ，那么根据定义3的第一个性质， $r_{1}n_{1}+r_{2}n_{2}\in N$ 。

iii) => ii)：根据 $k$ 进行数学归纳法证明。

ii) => i)：令 $k=2$ ， $r_{1}=1\,,\,r_{2}=-1$ ，那么对于任意的 $n_{1},n_{2}\in N$ ，都有 $n_{1}-n_{2}\in N$ ，证明了 $N$ 是一个子群。现在令 $k=1$ ，那么对于任意的 $r_{1},n_{1}\in N$ ， $r_{1}n_{1}\in N$ ，证明了定义3中的性质2。 ∎

该引理给出了子模的一个替代特征，以及那些在元素的线性组合下封闭的集合。

类似于向量空间的情况，我们可以用旧的子空间创建新的子空间。本小节的其余部分将讨论这个问题。

引理 7：令 M 为一个左 R-模，令 N 和 L 为 M 的子模。那么 $N\cap L$ 是 M 中的一个子模，它是 N 和 L 中包含的最大子模。

证明：设 $a,b\in N\cap L$ 且 $r,s\in R$ 。则 $ra+sb\in N$ 且 $ra+sb\in L$ ，因为N和L是子模，所以 $ra+sb\in N\cap L$ ，且 $N\cap L$ 是M的子模。现在，假设S是M的一个子模，且包含于N和L。那么任何 $a\in S$ 都必须在N和L中，因此在 $N\cap L$ 中，使得 $S\subseteq N\cap L$ ，从而证明了引理。 ∎

现在，正如读者在这一点上所预料的那样，给定M的子模N和L，并集 $N\cup L$ 通常不是一个子模。事实上，我们有以下引理

引理 8：设M是左R-模，且N和L是子模。则 $N\cup L$ 是一个子模当且仅当 $L\subseteq N$ 或 $N\subseteq L$ 。

证明：左向蕴含是显然的。对于右向蕴含，假设 $N\cup L$ 是M的子模。然后如果 $n\in N$ 且 $l\in L$ ，则 $n+l\in N\cup L$ ，这意味着 $n+l\in M$ 或 $n+l\in L$ 。不妨假设 $n+l\in N$ 。然后，由于N是子模，我们必须有 $(n+l)-n=l\in N$ ，从而证明了 $L\subseteq N$ 。 ∎

定义 9：设M为一个左R-模，并设 $N_{i}$ 为子模，其中 $1\leq i\leq k\in \mathbb {N}$ 。则定义它们的和， $\sum _{i=1}^{k}N_{i}=\left\{\sum _{j=1}^{k}n_{j}\,:\,n_{j}\in N_{j}\right\}$ 。

定义 9 可以很容易地推广到任意指标集上的求和。这个定义留给读者自行陈述。在本章中，我们只需要用到有限情况。

引理 10：设M为一个左R-模，并设N和L为子模。则 $N+L$ 是M的一个子模，并且它是包含N和L的最小子模。

证明：很容易看出 $N+L$ 是一个子模。为了证明它是包含N和L的最小子模，设S为一个包含N和L的子模。则对于任何 $n\in N\subseteq S$ 和 $l\in L\subseteq S$ ，我们必须有 $n+l\in S$ 。但这与说 $N+L\subseteq S$ 相同，从而证明了该引理。∎

在建立了引理 7 和引理 10 后，我们可以陈述本小节的主要结果。

定义 11：设M为一个左R-模。则设 ${\mathcal {S}}(M)$ 为由集合包含关系排序的子模集。

引理 12：设M为一个左R-模。则 ${\mathcal {S}}(M)$ 构成一个格， $N,L\in {\mathcal {S}}(M)$ 的并由 $N\vee L=N+L$ 给出，它们的交由 $N\wedge L=N\cap L$ 给出。

证明：大部分工作已经完成。剩下的只是检查结合律、吸收律和幂等律。结合律显然成立， $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$ 和 $(A+B)+C=A+(B+C)$ 对所有 $A,B,C\in {\mathcal {S}}(M)$ 成立。至于吸收律，我们需要检查 $A+(B\cap A)=A$ 和 $A\cap (A+B)=A$ 对所有 $A,B\in {\mathcal {S}}(M)$ 成立，但这也很显然。最后，我们显然有 $A+A=A$ 和 $A\cap A=A$ 对所有 ${\mathcal {S}}(M)$ 成立，所以我们完成了证明。 ∎

推论 13：令 M 为一个左 R-模。则 ${\mathcal {S}}(M)$ 是一个模格。

注：回想一下， ${\mathcal {S}}(M)$ 是模格当且仅当只要 $A,B,C\in {\mathcal {S}}(M)$ 使得 $A\subseteq C$ ，我们有 $A+(B\cap C)=(A+B)\cap C$ 。

证明：令 $a\in A\,,\,b\in B\,,\,c\in C$ ，使得 $a+b=c$ 。由于 $A\subseteq C$ ，我们有 $a=c^{\prime }$ ，对于某个 $c^{\prime }\in C$ ，使得 $b\in C$ 。因此 $b\in B\cap C$ 且 $a+b\in A+(B\cap C)$ 。另一方面，我们有 $a+b\in A+B$ 且 $a+b=c\in C$ ，所以 $a+b\in (A+B)\cap C$ 。∎

定义 14：令M为一个左R-模。如果对于任何满足 $N\subseteq L\subseteq M$ 的子模L，都有 $L=N$ 或 $L=M$ ，则称子模N为极大的。

定理 15：有限生成的左R-模的每个子模都包含在一个极大子模中。

证明：令N为一个子模，并令 $S=\{L\in {\mathcal {S}}(M)\,|\,N\subseteq L\subset M\}$ 。则S是在集合包含关系下的偏序集。令 $\{U_{1},U_{2},\dots \}$ 为S中的一个链，并注意 $U=U_{1}+U_{2}+\cdots$ 是一个包含每个 $U_{i}$ 的子模，使得U是该链的上界。然后，由于S中的每个链都有一个上界，根据佐恩引理，S有一个极大元，记为P。P显然是一个包含N的理想。根据S的定义，P也是M的一个极大子模，从而证明了该定理。∎

生成模

给定左 $R$ -模 $M$ 的一个子集 $A$ ，我们定义由 $A$ 生成的左子模为 $M$ 的最小子模（关于集合包含关系），该子模包含 $A$ 。出于稍后将阐明的原因，我们将其记为 $RA$ 。

这种子模的存在性源于这样一个事实： $R$ -模的交集仍然是 $R$ -模：考虑 $M$ 的所有包含 $A$ 的子模的集合 $S$ 。由于 $M$ 包含 $A$ ，我们可以看到 $S$ 非空。 $S$ 中模的交集显然包含 $A$ 并且是 $M$ 的一个子模。此外，任何包含 $A$ 的 $M$ 的子模也包含该交集。因此 $RA=\cap S$ 。

假设 $M$ 是幺模，则 $RA$ 的元素有一个简单的描述；

RA=\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,a_{i}\in A\right\}

.

也就是说， $RA$ 中的每个元素都可以写成 $A$ 元素的有限左线性组合。这个等式可以通过双包含来证明：首先，任何包含 $A$ 的子模一定包含 $A$ 的所有左 $R$ -线性组合，因为模对于加法和左乘以 $R$ 的元素是封闭的。因此， $RA\supseteq \{\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,a_{i}\in A\}$ 。其次，所有这些线性组合的集合形成了 $M$ 的一个包含 $A$ 的子模（使用 $n=1$ 和 $r_{1}=1_{R}$ ），因此它包含 $RA$ 。

由理想生成的子模

考虑任意环 $R$ ，左理想 $I\subseteq R$ ，以及左 $R$ -模 $M$ 。我们可以将 $I$ 视为 $R$ 的子环（当 $I\neq R$ 时为非幺子环），因此 $M$ 是 $I$ -模，使用 $R$ 元素的正则乘法。

如果我们考虑集合 $IM=\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}m_{i}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in I,m_{i}\in M\}$ ，我们将得到 $M$ 的一个子模。这源于我们关于生成子模的讨论。然而，由于 $I$ 不是幺子环，因此 $IM=M$ 并不一定成立。

因此，我们可以考虑商模 $M/IM$ 。显然，这是一个 $R$ -模，但它也是一个 $R/I$ 模，在明显的动作下。

命题

给定一个

R

-模

M

和

R

的理想

I

，则

R

-模

M/IM

是一个

R/I

-模，其乘法为

(r+I)(m+IM)=rm+IM

。

证明。

为了证明这是良定义的，我们观察到如果

r+I=s+I

，则

r-s\in I

，因此

(rm+IM)-(sm+IM)=rm-sm+IM=(r-s)m+IM=0+IM

因为

(r-s)m\in IM

。因此，

(r+I)(m+IM)=rm+IM=sm+IM=(s+I)(m+IM)

这证明了

R/I

对

M/IM

的作用是良定义的。由此可知

M/IM

是一个

R/I

-模，仅仅因为它是一个

R

-模。

商模

回想一下，阿贝尔群 $M$ 的任何子群 $N$ 都可以构造一个等价关系；对于 $m,m^{\prime }\in M$ ，

m\sim m^{\prime }\iff m-m^{\prime }\in N

.

N 的陪集，即上述关系下的等价类，可以赋予一个由原群导出的群结构，并命名为 M/N。两个陪集 $m+N=[m]$ 和 $m^{\prime }+N=[m^{\prime }]$ 的和仅仅是 $(m+m^{\prime })+N=[m+m^{\prime }]$ 。

引理 16 令 M 为一个左 R-模，N 为其子模。则如上定义的 M/N 是一个左 R-模。

证明：M/N 显然是一个阿贝尔群，因此我们只需要检查它是否具有一个良定义的 R-作用。令 $r\in R$ 和 $m\in M$ 。然后我们定义 $r(m+N)=rm+N$ 。作用的分配律和结合律是从 M 继承来的，因此我们只需要良定义性。令 $m,m^{\prime }\in M$ ，且 $m-m^{\prime }\in N$ 。则 $r(m-m^{\prime }+N)=r(m-m^{\prime })+N=N$ ，因为 N 是一个子模，因此得证。 ∎