抽象代数/数论

由于各种数系的数字构成了研究抽象代数时必须使用的基本单位，我们现在将定义自然数和有理整数以及加法和乘法等基本运算。利用这些定义，我们还将推导出这些数集和运算的重要性质。在此之后，我们将讨论数论中的重要概念；这将引导我们讨论模 n 的整数的性质。

皮亚诺公理和自然数

定义：使用未定义的概念“1”和“后继”（用 $'$) 表示），我们定义不包含零的自然数集 $\mathbb {N} ^{*}$，以下简称自然数，并给出以下公理，我们称之为皮亚诺公理

公理 1. $\exists 1(1\in \mathbb {N} ^{*}).$

公理 2. $\forall a(a\in \mathbb {N} ^{*}\implies \exists b(b=a')).$

公理 3. $\lnot \exists a(a'=1).$

公理 4. $\forall a\in \mathbb {N} ^{*}(\forall b\in \mathbb {N} ^{*}(a'=b'\implies a=b)).$

公理 5. $\forall A\subseteq \mathbb {N} ^{*}((1\in A)\land \forall a\in A(a'\in A)\implies A=\mathbb {N} ^{*}).$

我们可以使用数学归纳法来证明自然数的定理，这是第五个皮亚诺公理的结果。

加法

定义：我们使用两个额外的公理递归定义自然数的加法，作为一种组合；加法的其他性质随后可以从这些公理中推导出来。我们用中缀运算符 + 表示加法。

公理 6. $\forall a\in \mathbb {N} ^{*}(a+1=a').$

公理 7. $\forall a\in \mathbb {N} ^{*}(\forall b\in \mathbb {N} ^{*}(a+b'=(a+b)')).$

上面的公理 6 依赖于第一个皮亚诺公理（关于 1 的存在）以及第二个（关于每个数字都有一个后继的存在）。

从现在起，我们假设已证明的定理适用于所有$a,b,c,\ldots ,n$ 在 $\mathbb {N} ^{*}$ 中。

乘法

定义： 我们类似地为自然数递归地定义乘法，同样使用两个公理

公理 8. $a(1)=a.$

公理 9. $ab'=ab+a.$

加法的性质

我们首先证明加法是结合的。

定理 1： 加法的结合律：$(a+b)+c=a+(b+c).$

证明： 基本情况：根据公理 6 和 7，$a+(b+1)=(a+b)'$.

根据公理 6，$a+(b+1)=(a+b)+1$.

归纳假设：假设对于 $k'>1$，$(a+b)+k=a+(b+k)$.

归纳步骤：根据公理 7，$(a+b)+k'=\left[(a+b)+k\right]'$.

根据归纳假设，$(a+b)+k'=\left[a+(b+k)\right]'$.

根据公理 7，$(a+b)+k'=a+(b+k)'$.

根据公理 7，$(a+b)+k'=a+(b+k')$.

通过归纳法，$(a+b)+c=a+(b+c)$. QED.

引理 1： $a+1=1+a.$

证明： 基本情况：1+1=1+1。

归纳假设：假设对于 $k'>1$，$k+1=1+k$.

归纳步骤：根据公理 6，$k'+1=(k+1)+1$.

根据归纳假设，$k'+1=(1+k)+1$.

根据定理 1，$k'+1=1+(k+1)$.

根据公理 6，$k'+1=1+k'$.

根据归纳法，$a+1=1+a$. 证毕。

定理 2: 加法交换律：$a+b=b+a.$

证明： 基础情况：根据引理 1，$a+1=1+a$.

归纳假设：假设对于$k'>1$，$a+k=k+a$.

根据公理 6，$a+k'=a+(k+1)$.

根据定理 1，$a+k'=(a+k)+1$.

根据归纳假设，$a+k'=(k+a)+1$.

根据定理 1，$a+k'=k+(a+1)$.

根据引理 1，$a+k'=k+(1+a)$.

根据定理 1，$a+k'=(k+1)+a$.

根据公理 6，$a+k'=k'+a$.

根据归纳法，$a+b=b+a$. 证毕。

定理 3: $a+b=a+c\implies b=c$.

证明： 基础情况：假设 $1+b=1+c$.

根据定理 2，$b+1=c+1$.

根据公理 6，$b'=c'$.

根据公理 4，$b=c$.

归纳假设：假设对于$k'>1$，$k+b=k+c\implies b=c$.

归纳步骤：假设$k'+b=k'+c$.

根据公理 6，$(k+1)+b=(k+1)+c$.

根据定理 2，$(1+k)+b=(1+k)+c$.

根据定理 1，$1+(k+b)=1+(k+c)$.

根据基本情况，$k+b=k+c$。因此，$k'+b=k'+c\implies k+b=k+c$.

根据归纳假设，$k'+b=k'+c\implies b=c$.

根据归纳法，$a+b=a+c\implies b=c$。证毕。

乘法的性质

定理 4：乘法对加法的左分配律：$a(b+c)=ab+ac$.

证明：基本情况：根据公理 6 和 9，$a(b+1)=ab+a$.

根据公理 8，$a(b+1)=ab+a(1)$.

归纳假设：假设对于$k'>1$，$a(b+k)=ab+ak$.

归纳步骤：根据公理 7，$a(b+k')=a(b+k)'$.

根据公理 9，$a(b+k')=a(b+k)+a$.

根据归纳假设，$a(b+k')=(ab+ak)+a$.

根据定理 1，$a(b+k')=ab+(ak+a)$.

根据公理 9，$a(b+k')=ab+ak'$.

根据归纳法，$a(b+c)=ab+ac$. 证毕。

定理 5： $1a=a$.

证明： 基本情况：根据公理 8，1(1)=1。

归纳假设：假设对于$k'>1$，$1k=k$.

归纳步骤：根据公理 6，$1k'=1(k+1)$.

根据定理 4，$1k'=1k+1(1)$.

根据基本情况，$1k'=1k+1$.

根据归纳假设，$1k'=k+1$.

根据公理 6，$1k'=k'$.

根据归纳法，$1a=a$. 证毕。

定理 6： $a'b=ab+b$.

证明： 基本情况：根据公理 8，$a'(1)=a'$.

根据公理 6，$a'(1)=a+1$.

根据公理 8，$a'(1)=a(1)+1$.

归纳假设：假设对于$k'>1$，$a'k=ak+k$.

归纳步骤：根据公理 9，$a'k'=a'k+a'$.

根据归纳假设，$a'k'=ak+k+a'$.

根据公理 6，$a'k'=ak+k+(a+1)$.

根据定理 1，$a'k'=ak+(k+a)+1$.

根据定理 2，$a'k'=ak+(a+k)+1$.

根据定理 1，$a'k'=ak+a+k+1$

根据公理 9，$a'k'=ak'+k+1$.

根据定理 1，$a'k'=ak'+(k+1)$.

根据公理 6，$a'k'=ak'+k'$.

根据归纳法，$a'b=ab+b$. 证毕。

定理 7：乘法的结合律：$(ab)c=a(bc).$

证明：基本情况：根据公理 8，$ab(1)=ab=a\left[b(1)\right]$.

归纳假设：假设对于$k'>1$，$(ab)k=a(bk)$.

归纳步骤：根据公理 9，$(ab)k'=(ab)k+ab$.

根据归纳假设，$(ab)k'=a(bk)+ab$.

根据定理 4，$(ab)k'=a(bk+b)$.

根据公理 9，$(ab)k'=a(bk')$.

根据归纳法，$(ab)c=a(bc)$。QED。

定理 8：乘法的交换律：$ab=ba$。

证明：基本情况：根据公理 8 和定理 5，$a(1)=a=1a$。

归纳假设：假设对于$k'>1$，$ak=ka$。

归纳步骤：根据公理 9，$ak'=ak+a$。

根据归纳假设，$ak'=ka+a$。

根据定理 6，$ak'=k'a$。

根据归纳法，$ab=ba$。QED。

定理 9：乘法对加法的右分配律：$(a+b)c=ac+bc$。

证明：根据定理 4 和定理 7，$(a+b)c=ca+cb$。

根据定理 7，$(a+b)c=ac+bc$。QED。

整数

整数集合$\mathbb {Z}$ 可以由自然数的有序对 (a, b) 构造。我们定义了所有这些有序对集合上的等价关系，使得

$(a,b)\equiv (c,d)\Leftrightarrow a+d=c+b.$

然后，有理整数集就是所有这些有序对的等价类的集合。我们将包含某个对 (a, b) 的等价类记为 [(a, b)]。那么，对于任何自然数 a 和 b，[(a, b)] 表示一个有理整数。

整数加法

定义：我们定义整数的加法如下

$\left[(a,b)\right]+\left[(c,d)\right]=\left[(a+c,b+d)\right].$

使用这个定义和自然数的性质，可以证明整数加法是结合律和交换律。

整数乘法

定义：整数的乘法，就像加法一样，可以用一个公理定义

$\left[(a,b)\right]\left[(c,d)\right]=\left[(ac+bd,ad+bc)\right].$

同样，使用这个定义和前面证明的自然数的性质，可以证明整数乘法是交换律和结合律，而且它对于整数加法既是左分配律又是右分配律。