抽象代数/环同态

就像群一样，我们可以研究同态来理解不同环之间的相似性。

同态

定义

令R和S为两个环。则函数 $f:R\to S$ 称为环同态，简称为同态，如果对于所有 $r_{1},r_{2}\in R$，满足以下性质

$f(r_{1}r_{2})=f(r_{1})f(r_{2}),$

$f(r_{1}+r_{2})=f(r_{1})+f(r_{2}).$

换句话说，f 是一个环同态，如果它保留加法和乘法结构。

此外，如果R和S是有单位元的环，并且 $f(1_{R})=1_{S}$，则f被称为单式环同态。

示例

1. 令 $f:\mathbb {Z} \to M_{2}(\mathbb {Z} )$ 为映射 $a\mapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}$ 的函数。那么很容易检查 $f$ 是一个同态，但不是一个单式环同态。
2. 如果我们定义 $g:a\mapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}}$，那么我们可以看到 $g$ 是一个单式同态。
3. 零同态是将每个元素映射到其陪域的零元素的同态。

定理：令 $R$ 和 $S$ 为积分域，令 $f:R\to S$ 为非零同态。那么 $f$ 是单式的。

证明： $1_{S}f(1_{R})=f(1_{R})=f(1_{R}^{2})=f(1_{R})f(1_{R})$。然后根据抵消律，$f(1_{R})=1_{S}$。

事实上，我们可以稍微减弱对R的要求（怎样？）。

定理：设$R,S$是环，$\varphi :R\to S$是同态。设$R'$是$R$的子环，$S'$是$S$的子环。那么$\varphi (R')$是$S$的子环，$\varphi ^{-1}(S')$是$R$的子环。也就是说，同态的核和像都是子环。

证明：证明略。

定理：设$R,S$是环，$\varphi :R\to S$是同态。那么$\varphi$是单射当且仅当$\ker \varphi =0$。

证明：将$\varphi$视为$R$的加法群的群同态。

定理： 令 $F,E$ 为域，且 $\varphi :F\to E$ 为非零同态。则 $\varphi$ 是单射的，并且 $\varphi (x)^{-1}=\varphi (x^{-1})$。

证明： 我们知道 $\varphi (1)=1$，因为域是整环。令 $x\in F$ 为非零元素。则 $\varphi (x^{-1})\varphi (x)=\varphi (x^{-1}x)=\varphi (1)=1$。因此 $\varphi (x)^{-1}=\varphi (x^{-1})$。因此 $\varphi (x)\neq 0$（回想一下，你被要求证明单位元素非零）。因此 $\ker \varphi =0$。

同构

定义

令 $R,S$ 为环。 $R$ 和 $S$ 之间的同构是指可逆同态。如果存在同构，则称 $R$ 和 $S$ 同构，记作 $R\cong S$。与群一样，同构告诉我们两个对象在代数上是相同的。

示例

1. 上面定义的函数 $g$ 是一个从 $\mathbb {Z}$ 到大小为 2 的整数标量矩阵集合 $S=\left\{\lambda I_{2}|\lambda \in \mathbb {Z} \right\}$ 的同构。
2. 类似地，函数 $\varphi :\mathbb {C} \to M_{2}(\mathbb {R} )$ 将 $z\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$ 映射（其中 $z=a+bi$）是一个同构。这被称为复数的 *矩阵表示*。
3. 由 ${\mathcal {F}}(f)=\int _{\mathbb {R} }f(t)e^{-i\omega t}dt$ 定义的 *傅里叶变换* ${\mathcal {F}}:L^{1}\to L^{1}$ 是一个将可积函数和逐点乘法映射到可积函数和卷积乘法的同构。

练习： 从环到自身的同构称为 *自同构*。证明以下函数是自同构

1. $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,f(a+bi)=a-bi$
2. 定义集合 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}|a,b\in \mathbb {Q} \right\}$，并设 $g:\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\to \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),g(a+b{\sqrt {2}})=a-b{\sqrt {2}}$