抽象代数/环

本节在上一章关于群的理论基础上进行构建和扩展。强烈建议读者在继续学习之前掌握本章节中直到“乘积和自由群”部分的所有内容。

动机

研究环的标准动机是将其作为整数集 $\mathbb {Z}$ 的加法和乘法的推广，以便在更一般的、限制更少的环境中研究类似整数的结构。然而，我们也将展示以下基于阿贝尔群理论的环研究动机。

设 $G$ 和 $H$ 是阿贝尔群。那么，集合 $\mathrm {Hom} _{\mathrm {Ab} }(G,H)$ （现在请先不要太关注下标）由群同态 $\phi \,:\,G\rightarrow H$ 自然构成一个阿贝尔群，方法如下。如果 $\phi ,\psi \in \mathrm {Hom} _{\mathrm {Ab} }(G,H)$ ，定义 $(\phi +\psi )(g)=\phi (g)+\psi (g)$ 对于所有的 $g\in G$ 。每个加法在哪进行应该很明显。特别地，我们可以考虑集合 $\mathrm {End} _{\mathrm {Ab} }(G)=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Ab} }(G,G)$ ，即从 $G$ 到自身的同态。从上面的讨论中可以明显看出，该集合是一个群，但它在复合运算下也封闭。通过赋予集合 $\mathrm {End} _{\mathrm {Ab} }(G)$ 加法运算 $+$ 和复合运算 $\circ$ ，我们注意到它具有以下性质

i) 在加法下构成一个阿贝尔群。

ii) 在乘法下构成一个幺半群。

iii) 加法对复合运算分配。

事实上，对于第三个性质，注意如果 $\phi ,\psi ,\xi \in \mathrm {End} _{\mathrm {Ab} }(G)$ 和 $g\in G$ ，那么 $\phi \circ (\psi +\xi )(g)=(\phi \circ \psi +\phi \circ \xi )(g)$ 和 $(\phi +\psi )\circ \xi (g)=(\phi \circ \xi +\psi \circ \xi )(g)$ 。以下内容是对这种情况的推广。

环论简介

定义 1: 一个环 $(R,+,\cdot )$ 是一个集合 $R$ ，具有两个二元运算 $+$ 和 $\cdot$ ，满足以下性质

对于所有 $a,b,c\in R,$

i)

(R,+)

是一个阿贝尔群。

ii)

(R,\cdot )

是一个幺半群。

环同态的定义不包含 1 的存在。

iii)

\cdot

对

+

是可分配的

1)

a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)

2)

(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)

我们将用 $0_{R}$ 或 $0$ 来表示环中的加法单位元（如果环是已知的）。类似地，我们将用 $1_{R}$ 或 $1$ 来表示乘法单位元（如果环是已知的）。我们经常用并置来代替 $\cdot$ ，即， $ab\,$ 代表 $a\cdot b$ 。

备注 2: 一些作者不要求他们的环具有乘法单位元。我们将不具有单位元的环称为拟环。伪环是另一个用于不具有单位元的环的术语。不具有乘法单位元的作者通常将环称为具有单位元的环。除非另有说明，我们假定我们的环中 $0\neq 1$ 。非交换环理论的主要部分是在不假设每个环都具有单位元的情况下发展起来的。

示例 3：读者已经熟悉了几个环的例子。例如 $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ 和 $\mathbb {C}$ ，以及它们通常的加法和乘法运算。对于整数 $n\geq 2$ ，我们有一个由集合 $\mathbb {Z} _{n}$ 给出的有限环族，其加法和乘法定义为模 $n$ 。最后我们有一个由集合 $n\mathbb {Z}$ 给出的 *环* 的例子，其中整数 $n\geq 2$ ，并使用通常的加法和乘法。读者可以验证这些例子中的环公理。

现在让我们证明一些关于环的基本性质。这类似于我们第一次介绍群时所做的事情。

定理 4：设 $R$ 为一个环，并设 $a,b,c\in R$ 。那么以下成立

如果 $a+b=a+c$ ，那么 $b=c$ 。
方程 $a+x=b$ 有唯一的解。
$-(-a)=a$
$0a=0$
$(-a)b=-(ab)$
$(-a)(-b)=ab$

证明： (1)、(2) 和 (3) 都严格涉及加法，并且都是来自 $(R,+)$ 是一个群的先前结果。另外三个部分都涉及加法和乘法（因为 0 和 - 是加法概念），因此作为证明策略，我们期望以某种方式使用分配律来将这两个运算联系起来。对于 (4)，观察到 $0a+0a=(0+0)a=0a=0a+0$ 。然后根据 (1)，0a=0。对于 (5)，注意 $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0$ 。对于 (6)，注意 $(-a)(-b)+-(ab)=(-a)(-b)+(-a)b=-a(-b+b)=-a0=0$ 。 ∎

注记 5： 再次看一下示例 3 中的例子。请注意，对于所有这些环，乘法都是可交换的。然而，公理并没有说明这一点。因此，我们应该期望找到反例。

定义 6： 如果乘法是可交换的，则称为环可交换。

示例 7： 非可交换环的一个例子是集合 ${M}_{n}(\mathbb {R} )$ 中的 $n\times n$ 方阵，其系数为实数，在矩阵的标准加法和乘法下，其中 $n\geq 2$ 是一个整数。读者可以轻松地检查 $n=2$ 的情况，并得出结论，它对所有其他 $n$ 都成立（为什么？）。

定理 8： 环具有唯一的乘法单位元。

证明：在我们之前关于幺半群的简短讨论中，我们证明了在任何幺半群中，单位元都是唯一的。由于没有加法的环是一个幺半群，因此这也适用于此。 ∎

示例 9： 单元素集 $\{*\}$ ，其加法和乘法定义为 $*+*=*$ 和 $*\cdot *=*$ 是一个环，称为平凡环或零环。请注意，在平凡环中， $0=1$ 。欢迎读者证明，如果且仅当环是平凡环时，环中的 $0=1$ 。

如果读者尝试构建一些环 $=\mathbb {Z} _{n}$ ，他/她可能已经意识到某些非零元素的乘积为零。我们对这个概念进行形式化，如下所示。

定义 10： 令 $R$ 为环， $a\in R\setminus \{0\}$ 。若存在 $b\in R$ 使得 $ab=0$ $(ba=0)$ ，则称 $a$ 为左（或右）零因子。

引理 11： 令 $R$ 为环， $a\in R$ 。定义函数 $\rho _{a}\,:\,R\rightarrow R$ ，其中对于所有 $r\in R$ ，有 $\rho _{a}(r)=ar$ 。则 $\rho _{a}$ 是单射当且仅当 $a$ 不是左零因子。

证明：假设 $a$ 不是左零因子，并且假设我们有 $ab=\rho _{a}(b)=\rho _{a}(c)=ac$ 对于某些 $b,c\in R$ 。这意味着 $ab-ac=a(b-c)=0$ ，得到 $b=c$ 由于 $a$ 不是左零因子，所以 $\rho _{a}$ 是单射的。反之，假设 $a$ 是左零因子。则存在一个 $b\in R$ 使得 $b\neq 0$ 并且 $\rho _{a}(b)=ab=0=a0=\rho _{a}(0)$ ，所以 $\rho _{a}$ 不是单射的。 ∎

备注 12： 因此，乘以 $a$ 是左消去性的当且仅当 $a$ 不是零因子。请读者陈述并证明右零因子的等价引理。

示例 13： $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 都是没有零因子的交换环的例子。这些环促使了下一个定义。

定义 14： 令 $R$ 是一个没有零因子的交换环。则 $R$ 被称为整环。

就像定义 14 一样，大多数特殊类型的环都将受到 $\mathbb {Z}$ 属性的启发。

示例 15

在点态加法和乘法下，定义在 $\mathbb {R}$ 上的函数集合 $\mathrm {Hom} _{\mathrm {Set} }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ 是一个环。
更一般地，如果 $R$ 是一个环，则从 $R$ 到自身的函数集合 $\mathrm {Hom} _{\mathrm {Set} }(R,R)$ 也是一个环。
用函数复合作为乘法运算，函数集合 $\mathrm {Hom} _{\mathrm {Set} }(R,R)$ 不是一个环，因为表达式 $f\circ (g+h)=f\circ g+f\circ h$ 一般情况下不成立。
在点态加法和由卷积给出的乘法下，实数上的可积函数集合 $L^{1}$ 是一个含幺半环。该半环对线性系统和微分方程的研究至关重要。如果读者有足够的微积分基础，他/她可以验证该半环没有单位元，并且是可交换的。 $(f*g)(t)=\int _{\mathbb {R} }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$ .
在标准加法和乘法下，高斯整数集合 $\mathbb {Z} \left[i\right]=\left\{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} \right\}$ 是一个环。

定义 16: 令 $R$ 是一个环。元素 $a\in R$ 是一个单位元，并且是可逆的，如果存在一个元素 $b\in R$ 使得 $ab=ba=1$ 。所有单位元的集合记为 $R^{*}$ 。

练习 17: 证明 $R^{*}$ 在乘法下是一个群。

练习 18:: 证明零因子不是单位元。

定理 19: (整环的消去律): 令 $R$ 为一个整环，并且令 $a,b,c\in R$ 为非零元素。那么 $ab=ac$ 当且仅当 $b=c$ .

证明: 显然 $ab=ac$ 如果 $b=c$ 。为了看到另一个方向，我们将等式重新排列为 $ab-ac=0$ 。但然后 $a(b-c)=0$ 。由于 $a$ 为非零元素，并且 $R$ 不包含零因子，因此必须是 $b-c=0$ ，也就是说 $b=c$ .

定义 20: 环 $R$ 如果所有非零元素都是单位元，则称为除环或斜域，即如果它在乘法下形成了一个群，且其非零元素作为该群的元素。

定义 21: 域是一个可交换的除环。或者，域 $F$ 是一个环，其中 $(F-{0},\cdot )$ 在乘法下是一个阿贝尔群。作为另一个选择，域是一个所有非零元素都可逆的整环。

如前所述，整环易于处理，因为它们非常接近域。事实上，下一个定理展示了这两者之间的接近程度。

定理 22: 令 $R$ 为一个有限整环。那么 $R$ 是一个域。

证明：令 $a\in R$ 不为零，并令 $S=\left\{ab|b\in R\right\}$ 。显然 $S$ 是 $R$ 的子集。根据消去律，我们可以看到 $|S|=|R|$ （因为如果两个元素 $ab$ 和 $ac$ 相等，则 $b=c$ ）。但随后 $S=R$ 。因此，一定存在某个 $b$ 使得 $ab=1$ 。所以 $a$ 是一个单位。