抽象代数/环、理想、环同态

基本定义

定义 10.1:

一个环是一个集合$R$，以及两个二元运算$+:R\times R\to R$ 和 $\cdot :R\times R\to R$，以及两个特殊的元素，单位元 $1$ 和零元 $0$，使得

1. $R$ 关于$+$ 是一个阿贝尔群，其单位元为$0$。
2. $R$ 关于$\cdot$ 是一个幺半群（即没有逆元的群），其单位元为$1$。
3. 分配律成立：$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$，$(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$。

例子 10.2:

• 整数$\mathbb {Z}$ 关于通常的加法和乘法运算是一个环。
• 每一个域都是一个环。
• 如果$R$ 是一个环，则所有关于$R$ 的多项式形成一个环。这个例子将在关于多项式环的部分中解释。

定义 10.3:

令$R$ 是一个环。$R$ 的一个左理想是一个子集$I\subseteq R$，使得以下两点成立

1. $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的一个子群。
2. $\forall r\in R:rI\subseteq I$，其中 $rI=\{ri|i\in I\}$（左乘封闭性）。

用右乘封闭性替换左乘封闭性，我们可以定义右理想，然后是双边理想。如果 $I\subseteq R$ 是 $R$ 的双边理想，我们记为 $I\leq R$。

现在我们来证明给定环的所有理想集的一个重要性质，即它是归纳的。这意味着

定义 10.4:

令 $(S,\leq )$ 为偏序集（即满足通常的传递性、自反性和反对称性）。$S$ 称为归纳的当且仅当 $S$ 中的每个元素的上升链（即 $S$ 中的序列 $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，使得 $s_{1}\leq s_{2}\leq s_{3}\leq \cdots \leq s_{k}\leq \cdots$）都有一个上界（即一个元素 $b\in S$，使得 $\forall n\in \mathbb {N} :b\geq s_{n}$）。

根据这个定义，我们观察到

定理 10.5:

如果给定一个交换环 $R$，则所有理想 $I$ 的集合 $R$，通过包含关系（即 $S=\{I\subset R|I\leq R\}\subset 2^{R}$，我们使用 唐纳德·克努斯 的约定，用 $2^{T}$ 表示集合 $T$ 的幂集）是归纳的。

证明:

如果

$I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots \subseteq I_{k}\subseteq \cdots$

是一个上升的理想链，我们设置

$J:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$

并声称$J\leq R$。事实上，如果$a,b\in J$，找到$m,n\in \mathbb {N}$ 使得$a\in I_{n}$ 和$b\in I_{m}$。然后设置$N:=\max\{m,n\}$，因此$a,b,a+b\in I_{N}\subseteq J$，因为$I_{N}\leq R$。类似地，如果$a\in J$ 和$r\in R$，选择$n\in \mathbb {N}$ 使得$a\in I_{n}$，则$ra\in I_{n}\subseteq J$，因为$I_{n}\leq R$。$\Box$

剩余类环

定义和定理 10.4:

令$R$ 为一个环，并且$I\leq R$。那么我们定义一个关系$\sim _{I}$ 在$R$ 上，如下所示

$a\sim _{I}b:\Leftrightarrow a-b\in I$.

该关系是一个等价关系，等价类$[a]$ 将用 $a+I$ 表示，其中$a\in R$。如果我们定义加法

$(a+I)+(b+I):=(a+b)+I$

和乘法

$(a+I)\cdot (b+I):=a\cdot b+I$,

则这两个运算都是良定义的（即，与代表元$a$ 和 $b$ 的选取无关)，并将$R/I$ 变成一个环，称为关于理想$I$ 的**剩余类环**。

证明:

首先，我们检查$\sim _{I}$ 是否是一个等价关系。

1. 自反性：$a-a=0\in I$，因为$I$ 是一个加法子群。
2. 对称性：$a-b\in I\Leftrightarrow -(a-b)\in I$，因为逆元在子群中。
3. 传递性：令$a-b\in I$ 且$b-c\in I$。则$a-c=a-b+(b-c)\in I$，因为子群在群运算下是封闭的。

然后我们检查加法和乘法是否良定义。令$a+I=a'+I$ 且$b+I=b'+I$。则

$a+b-(a'+b')=a+b-(a+i+b+j)=-i-j\in I$，对于某些$i,j\in I$。

此外，

$a\cdot b-a'\cdot b'=a\cdot b-a\cdot b-a\cdot j-i\cdot b-i\cdot b$

对于相同的 $i,j\in I$; 这是在 $I$ 中，通过左右乘法的封闭性。

环公理直接从旧环 $R$ 中继承。$\Box$

环同态

定义 10.5:

令 $R,S$ 是环。这两个环之间的环同态是一个映射

$\varphi :R\to S$

使得

1. 对于所有 $a,b\in R$ $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$ 且 $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
2. $\varphi (1_{R})=1_{S}$ ($1_{R}$ 是 $R$ 的单位，而 $1_{S}$ 是 $S$ 的单位）。