抽象代数/集合

集合

在所谓的朴素集合论中，它足以用于研究抽象代数，集合的概念没有严格定义。我们将集合描述为对象的明确集合，这些对象被称为集合的成员或元素。如果某个对象是集合的元素，则称它包含在该集合中。集合的元素可以是任何东西，但在抽象代数的研究中，元素最常见的是数字或数学结构。集合的元素完全决定了集合，因此具有相同元素的集合是相等的。反之，相等的集合包含相同的元素。

对于元素 $x$ 和集合 $A$，我们可以说 $x\in A$，即 $x$ 包含在 $A$ 中，或者 $x\not \in A$，即 $x$ 不包含在 $A$ 中。要说明多个元素 $a,b,c,\ldots ,n$ 包含在 $A$ 中，我们写 $a,b,c,\ldots ,n\in A$。

外延公理

使用此符号和符号 $\rightarrow$，它表示逻辑蕴涵，我们可以重新说明两个集合 $A$ 和 $B$ 等式的定义如下

$A=B$ 当且仅当 $x\in A\rightarrow x\in B$ 和 $x\in B\rightarrow x\in A$。

这被称为外延公理。

综合符号

如果无法列出集合的元素，可以通过给出一个属性来定义集合，该属性是集合中所有元素独有的。所有具有属性 $Q(x)$ 的对象 $x$ 的集合可以用 $\{x:Q(x)\}$ 表示。类似地，集合 $A$ 中所有具有属性 $Q(x)$ 的元素 $x$ 的集合可以用 $\{x\in A:Q(x)\}$ 表示。这里冒号 : 表示“使得”。竖线 | 在类似情况下与冒号同义。这种符号将在本书的其余部分出现很多次，因此读者现在熟悉它很重要。

例如，整数集可以写成 $\mathbb {Z} =\{x:x{\text{ 是一个整数}}\}$，偶数集可以写成 $\{x\in \mathbb {Z} :x{\text{ 是偶数}}\}$.

集合包含

对于两个集合 $A$ 和 $B$，我们将集合包含定义如下：$A$ 包含于或是一个 $B$ 的子集，当且仅当 $A$ 中的每个成员都是 $B$ 的成员。换句话说，

$A\subseteq B\Leftrightarrow x\in A\rightarrow x\in B$

其中符号 $\subseteq$ 表示“是…的子集”，符号 $\Leftrightarrow$ 表示“当且仅当”。

根据上述外延公理，我们发现 $A=B\Leftrightarrow A\subseteq B{\mbox{ and }}B\subseteq A$.

空集

我们可以定义一个空集，记作 $\varnothing$，使得 $\forall x(x\not \in \varnothing )$，其中 $\forall$ 表示全称量词（读作“对于所有”或“对于每一个”）。换句话说，空集被定义为不包含任何元素的集合。可以证明空集是唯一的。

由于空集不包含任何元素，因此可以证明它是任何集合的子集。同样地，除了空集之外，没有其他集合是空集的子集。

真子集

对于两个集合 $A$ 和 $B$，我们可以定义真子集如下： $A$ 是 $B$ 的真子集，当且仅当 $A$ 是 $B$ 的子集，且 $A$ 不等于 $B$。换句话说，$B$ 中至少有一个成员不包含在 $A$ 中。

$A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B\land A\neq B)$,

其中符号 $\subset$ 表示“是…的真子集”，符号 $\land$ 表示逻辑运算符“且”。

集合的基数

集合 $A$ 的基数，记为 $|A|$，可以非正式地理解为集合 $A$ 中元素的数量。然而，这种描述仅对有限集严格准确。为了找到无限集的基数，需要更复杂的工具。

集合交集

对于集合 $A$ 和 $B$，我们定义 $A$ 和 $B$ 的交集为集合 $A\cap B$，它包含所有同时属于 $A$ 和 $B$ 的元素。符号上，这可以表述如下

$A\cap B=\{x\mid x\in A{\mbox{ and }}x\in B\}$.

由于 $A\cap B$ 的每个元素都是 $A$ 的元素，也是 $B$ 的元素，根据集合包含的定义，$A\cap B$ 是 $A$ 和 $B$ 的子集。

如果集合 $A$ 和 $B$ 没有共同的元素，它们被称为不相交集。这等同于语句 $A$ 和 $B$ 不相交，如果 $A\cap B=\emptyset$。

集合交集是结合律和交换律运算；也就是说，对于任何集合$A$，$B$ 和 $C$，$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ 且 $A\cap B=B\cap A$.

根据交集的定义，我们可以发现 $A\cap \emptyset =\emptyset$ 且 $A\cap A=A$。此外，$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A$.

我们可以同时对两个以上的集合取交集；由于集合交集是结合律和交换律运算，因此这些交集的求值顺序无关紧要。如果$A_{i}$ 对于每个$i\in I$ 都是集合，我们可以用以下符号表示所有$A_{i}$ 的交集:

$\bigcap _{i\in I}A_{i}=\{x\mid (\forall i\in I)x\in A_{i}\}$

在这种情况下，$I$ 被称为索引集，而 $A_{i}$ 被称为由 $I$ 索引。

对于$I=\{1,2,...,n\}$ 的情况，我们可以写 $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots \cap A_{n}$ 或者

$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$.

集合并集

对于集合 $A$ 和 $B$，我们定义 $A$ 和 $B$ 的并集为集合 $A\cup B$，它包含所有在 $A$ 或 $B$ 或两者中任何一个集合中的元素。用符号表示为：

$A\cup B=\{x\mid x\in A{\mbox{ or }}x\in B\}$.

由于集合 $A$ 和 $B$ 的并集 $A\cup B$ 包含 $A$ 和 $B$ 的所有元素，所以 $A\subseteq A\cup B$ 且 $B\subseteq A\cup B$。

与集合交集类似，集合并集也是一种结合律和交换律运算；对于任意集合 $A$，$B$，和 $C$，$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ 且 $A\cup B=B\cup A$。

根据并集的定义，可以发现 $A\cup \emptyset =A\cup A=A$。此外，$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$。

正如集合交集一样，可以一次对多个集合求并集；由于集合并集是结合律和交换律的，这些并集的计算顺序无关紧要。令 $A_{i}$ 是所有 $i\in I$ 的集合。则所有 $A_{i}$ 的并集记为

$\bigcup _{i\in I}A_{i}=\{x\mid (\exists i\in I)x\in A_{i}\}$

(其中 $\exists$ 可以读作“存在”。)

对于有限个集合 $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,A_{n}$ 的并集，即 $I=\{1,2,...,n\}$，可以写成 $A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots \cup A_{n}$，也可以简写为

$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$.

分配律

集合并集和集合交集是关于彼此分配的。也就是说，

$A\cap (B\cup C)=(B\cup C)\cap A=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ 以及

$A\cup (B\cap C)=(B\cap C)\cup A=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.

笛卡尔积

集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔积，记为 $A\times B$，是所有有序对的集合，这些有序对可以由 $A$ 中的元素作为第一个元素，$B$ 中的元素作为第二个元素形成。这可以用符号表示为

$A\times B=\{(x,y)\mid x\in A{\mbox{ and }}y\in B\}$.

由于交换对中的对象会得到不同的有序对，所以笛卡尔积不满足交换律。 笛卡尔积也不满足结合律。 对于任何集合 $A,B,C,D$，笛卡尔积满足以下恒等式：

$(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)$,

$(A\cup B)\times (C\cup D)=(A\times C)\cup (A\times D)\cup (B\times C)\cup (B\times D)$,

$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$,

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$.

任何集合与空集的笛卡尔积都为空集；用符号表示，对于任何集合 $A$，$A\times \emptyset =\emptyset \times A=\emptyset$.

笛卡尔积可以很容易地推广到n元笛卡尔积，它也用 $\times$ 表示。 n元笛卡尔积从 $n$ 个集合的元素中形成有序的n元组。 特别地，对于集合 $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,A_{n}$，

$A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times \cdots \times A_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in A_{i}\}$.

这可以简写为

$\prod _{i=1}^{n}A_{i}$.

在n元笛卡尔积中，每个 $x_{i}$ 被称为 $i$ 的 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 的第 $i$ 个坐标。

在所有因子都是同一个集合$A$的特殊情况下，我们可以进一步推广。设$A^{\Omega }$ 是所有函数$f\,:\,\Omega \rightarrow A$ 的集合。那么，类似于上面的，$A^{\Omega }$ 实际上是$\Omega$ 元组”的集合，这些元组中的元素属于$A$，对于每个这样的函数$f$ 和每个$i\in \Omega$，我们称$f(i)$ 是$i$ 坐标的$f$。正如预期的那样，在简单的$\Omega =\{1,2,...,n\}$ 情况下，对于整数$n$，此构造等价于$\prod _{i=1}^{n}A$，我们可以将其进一步缩写为$A^{n}$。我们还有一个重要的$\Omega =\mathbb {N}$，它产生了所有$A$ 的无限序列的集合，我们可以将其表示为$A^{\infty }$。我们稍后会用到这个构造，特别是在处理多项式环时。

不相交并集

设 $A$ 和 $B$ 是任意两个集合。我们定义它们的**不相交并集**，记为 $A\coprod B$，如下：首先创建 $A$ 和 $B$ 的副本，记为 $A^{\prime }$ 和 $B^{\prime }$，使得 $A^{\prime }\cap B^{\prime }=\emptyset$。然后定义 $A\coprod B=A^{\prime }\cup B^{\prime }$。注意，这个定义不是显式的，不像迄今为止定义的其他运算。这个定义并没有输出一个单一的集合，而是输出一个集合族。然而，它们在某种意义上都是“相同的”，这将在后面定义。换句话说，它们之间存在双射函数。

幸运的是，如果需要进行显式计算，则可以很容易地构造出一个不相交并集，例如 $A\coprod B=(\{0\}\times A)\cup (\{1\}\times B)$。

集合差

集合 $A$ 和 $B$ 的**集合差**或**相对集合补**，记为 $A\setminus B$，是包含在 $A$ 中但不包含在 $B$ 中的元素的集合。符号表示为：

$A\setminus B=\{x\mid x\in A{\mbox{ and }}x\not \in B\}$.

根据集合差的定义，$A\setminus B\subseteq A$。

对于任意集合 $A,B,C$，以下等式成立：

$A\setminus B=A\Leftrightarrow A\cap B=\emptyset$,

$A\setminus B=\emptyset \Leftrightarrow A\subseteq B$,

$A\setminus B=A\setminus C\Leftrightarrow A\cap B=A\cap C$,

$A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$,

$A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$,

$A\setminus (B\setminus C)=(C\cap A)\cup (A\setminus B)$,

$A\setminus \emptyset =A$,

$A\setminus A=\emptyset$,

$\emptyset \setminus A=\emptyset$.

两个笛卡尔积的集合差可以表示为 $(A\times B)\setminus (C\times D)=[A\times (B\setminus D)]\cup [(A\setminus C)\times B]$.

全集和集合补集

我们定义一个任意集合 $U$，所有我们考虑的集合都是 $U$ 的子集，作为全集。任何集合的补集定义为全集和该集合的集合差。即，对于任何集合 $A\subseteq U$，$A$ 的补集由 $A^{C}=U\setminus A$给出。以下恒等式涉及集合补集，对于任何集合 $A$ 和 $B$ 都成立

德摩根定律

$(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$,

$(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$,

双补集定律

$A^{CC}=A$,

补集性质

$A\cup A^{C}=U$,

$A\cap A^{C}=\emptyset$,

$\emptyset ^{C}=U$,

$U^{C}=\emptyset$,

$A\subseteq B\rightarrow B^{C}\subseteq A^{C}$.

集合的补集可以与集合的差集通过以下等式联系起来 $A\setminus B=A\cap B^{C}$ 和 $(A\setminus B)^{C}=A^{C}\cup B$.

对称差

对于集合 $A$ 和 $B$，$A$ 和 $B$ 的对称差集，记为 $A\bigtriangleup B$ 或 $A\ominus B$，是包含在 $A$ 或 $B$ 但不包含在两者中的元素的集合。符号表示为：

$A\bigtriangleup B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.$

更常见的表示方法是：

$A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$ 或

$A\bigtriangleup B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$.

对称差是可交换的和可结合的，因此 $A\bigtriangleup B=B\bigtriangleup A$ 和 $(A\bigtriangleup B)\bigtriangleup C=A\bigtriangleup (B\bigtriangleup C)$。任何集合都是它自身的对称差逆元，空集是其对称差运算的单位元，即，$A\bigtriangleup A=\emptyset$ 且 $A\bigtriangleup \emptyset =A$。此外，$A\bigtriangleup B=\emptyset$ 当且仅当 $A=B$。

集合交集对称差运算具有分配律。换句话说，$A\cap (B\bigtriangleup C)=(A\cap B)\bigtriangleup (A\cap C)$。

两个集合补集的对称差与两个集合的对称差相同：$A^{C}\bigtriangleup B^{C}=A\bigtriangleup B$。

特定集合的符号

数学中常用的数字集合通常用特殊符号表示。本书中使用的传统符号如下所示。

包含 0 的自然数: $\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,\ldots \}$ 或 $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$
不包含 0 的自然数: $\mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\ldots \}$
整数: $\mathbb {Z} =\{0,\pm 1,\pm 2,\ldots \}$
有理数: $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {p}{q}}:p\in \mathbb {Z} {\mbox{ and }}q\in \mathbb {N} ^{*}\right\}$
实数: $\mathbb {R}$
复数: $\mathbb {C}$