抽象代数/集合与复合

一个集合是值的集合，通常用大写字母表示。例如，假设 A 是所有以字母 'A' 开头的名字的集合。从这个定义中，我们可以看出 "Andrew" 是集合 A 的成员，但 "Michael" 不是。

集合

常见集合

以下是一些常见的集合

$\mathbb {N}$: 自然数 $\mathbb {Z}$: 整数 $\mathbb {Q}$: 有理数 $\mathbb {R}$: 实数 $\mathbb {C}$: 复数

自然数是所有非负非零整数的集合 $\{1,2,3,4,\ldots \}.$ 整数包括所有自然数，它们的负数和零 $\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$。有理数是所有可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。实数包括有理数，也包括所有不能表示为两个整数之比的数。复数是所有包含虚数 i 的数。注意，C 可以包含虚数（没有实部）、实数（没有虚部）和复数（实部和虚部）。

集合符号

通常，我们需要用特定的数学关系来定义集合。例如，我们可以说我们要定义所有偶数的集合。因为 $\mathbb {Z}$ 是整数的集合符号，我们可以说

$\{x\in \mathbb {Z} :x{\mbox{ mod }}2=0\}$

用英文来说，这句话的意思是 "所有属于集合 $\mathbb {Z}$ 的 x，使得 x 模 2 等于零"。或者，如果我们不熟悉模运算，用简单的英文来定义我们的集合也是可以接受的

$\{x\in \mathbb {Z} :x{\mbox{ is even}}\}$

这里冒号 (:) 读作 "使得"。这种符号将在本书的其余部分中大量出现，因此读者务必熟悉它。

$a\in A$ 表示 $a$ 是 A 的一个元素。

集合运算

集合 A 的一个子集 S 是一个满足 $s\in S\to s\in A$ 的集合。这表示为 $S\subset A$。

两个集合 A 和 B 的交集是集合 $A\cap B=\{s:s\in A\land s\in B\}$。

两个集合 A 和 B 的并集是集合 $A\cup B=\{s:s\in A\lor s\in B\}$。

如果 $S\subset A$，那么集合 $A-S=\{s:s\in A\land s\notin S\}$。

笛卡尔积

两个集合之间的笛卡尔积表示了两个或多个变量的域。例如，如果我们有变量 x 和 y，以及集合 A 和 B，我们可以使用笛卡尔积来表示 x 和 y 的域，分别用 A 和 B 表示。

$A\times B=\{(x,y):x\in A,y\in B\}$

运算

运算是在集合上对集合中的数字进行的操作，并返回一个属于该集合的值，即如果 $A$ 是一个集合，那么运算是一个函数 $*:A\times A\to A$

例如，两个整数的加法会产生一个整数的结果。因此，加法是整数中的一个运算。而整数的除法就是一个操作的例子，它不是一个运算，因为 $1/2$ 不是一个整数。

如果我们有一个集合 $A$，我们说一个运算作用于 $A\times A$ 并产生一个结果在 $A$ 中。这也被称为 **封闭性**。

结合性

如果一个运算 Δ 满足：

$(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$

那么称该运算 Δ 为结合运算，例如，加法运算在整数集合 Z 上是结合运算。

$(1+2)+3=6=1+(2+3)$

然而，需要注意的是，减法不是结合运算。

$(1-2)-3=-4,\qquad 1-(2-3)=2$

交换律

如果一个运算 Δ 满足

$A\Delta B=B\Delta A$

则称 Δ 为交换运算。

例如，乘法是交换运算，因为

$2\times 3=6=3\times 2$$2\times 3=6=3\times 2$

注意，除法不是交换运算

$2\div 3={\frac {2}{3}},\qquad 3\div 2={\frac {3}{2}}$$2\div 3={\frac {2}{3}},\qquad 3\div 2={\frac {3}{2}}$

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单位元（或恒等元）是指集合 E 中的一个元素，使得对 E 中的任何元素进行运算 × E，结果都返回另一个操作数。例如，假设我们有一个运算 Δ，一个单位元 $e\in E$ 和一个非单位元 $x\in E$。如果 Δ 是交换运算，则有以下关系

$e\Delta x=x\Delta e=x$$e\Delta x=x\Delta e=x$

例如，在加法中，单位元是 0，因为 1 + 0 = 1。同样，在乘法中，1 是单位元，因为 1 × 2 = 2。

每个运算最多只有一个单位元。为了证明这个事实，假设一个运算 Δ 存在两个单位元 e 和 f

$e\Delta f=e$

$f\Delta e=f$$f\Delta e=f$

但由于根据定义，e 和 f 在 Δ 下是交换的，因此我们知道 e = f。

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大多数读者应该熟悉笛卡尔坐标系中的有序坐标对，它是一个由两个值组成的有序对 (x,y)。
有序对是一种人工构造，我们将两个值按照特定的顺序排列。更正式地，我们可以将有序对定义为以下集合

$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$

假设我们有两个有序对 A 和 B，分别包含值 $a_{1},a_{2},b_{1}$ 和 $b_{2}$

$B=(b_{1},b_{2})$

我们可以看到 $A=B$ 当且仅当

$a_{1}=b_{1}{\mbox{ and }}a_{2}=b_{2}$

函数

函数本质上是一个映射，它连接两个值 x 和 y。我们使用以下符号来表示我们的函数 f 是 x 和 y 之间的关系

$(x,y)\in f$

注意 x 和 y 构成一个有序对：如果我们颠倒 x 和 y 的顺序，关系将不同（或不存在）。我们说 x 的可能值的集合是函数的域 D，而 y 的可能值的集合是值域 R。

换句话说，使用我们已经讨论过的一些术语，我们说我们的函数 f 从“D × R 映射到 R”。

逆函数

如果 f 是 D × R 中的函数，到 R，那么 f⁻¹ 是 f 的逆函数，如果它在 R × D 到 D 中，并且以下关系成立

$(x,y)\in f,\qquad (y,x)\in f^{-1}$

练习

• 在四则运算中，加法、减法、乘法和除法，哪些是可结合的？哪些是可交换的？
• 使用有序对的定义作为模型，给出有序n 元组的正式定义：$(a_{1},a_{2},\ldots a_{n})$

答案

运算	可结合的	可交换的
加法	是	是
乘法	是	是
减法	否	否
除法	否	否