抽象代数/分裂域和代数闭包

分裂域

令F为一个域，p(x)为F(x)中的一个非零多项式。我们已经知道，可以找到F的一个域扩张，它包含p(x)的一个根。然而，我们想知道是否存在F的扩张E，它包含p(x)的所有根。换句话说，我们能否找到F的域扩张，使得p(x)在其中分解成线性多项式的乘积？包含p(x)所有根的“最小”扩张是什么？

令F为一个域， $p(x)=\alpha _{0}+\alpha _{1}x+\cdots +\alpha _{n}x^{n}$ 为F[x]中的一个非零多项式。F的扩张域E称为p(x)的分裂域，如果存在E中的元素 $\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}$ ，使得 $E=F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})$ 并且

$p(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})$ 在E[x]中成立。

多项式 $p(x)\in F[x]$ 在E中分解，如果它是E[x]中线性因子的乘积。

例1： 令 $p(x)=x^{4}+2x^{2}-8$ 为 $\mathbb {Q} [x]$ 中的元素。那么p(x)具有不可约因子 $x^{2}-2$ 和 $x^{2}+4$ 。因此，域 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},i)$ 是p(x)的分裂域。

例2： 令 $p(x)=x^{3}-3$ 为 $\mathbb {Q} [x]$ 中的元素。那么p(x)在域 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{3}})$ 中有一个根。然而，这个域不是p(x)的分裂域，因为3的复三次根， ${\frac {-{\sqrt[{3}]{3}}\pm ({\sqrt[{6}]{3}})^{5}i}{2}}$ 不在 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{3}})$ 中。

定理 设 $\in$ $p(x) \in F(x)$ 是一个非常数多项式。那么，存在 $p(x)$ 的裂解域 $E$ 。

证明：我们将对 $p(x)$ 的次数使用数学归纳法。如果 $deg(p(x))=1$ ，那么 $p(x)$ 是一个线性多项式，且 $E=F$ 。假设对于所有次数为 $k$ 且 ${\displaystyle 1\leq k$ 的多项式定理成立，并设 $deg(p(x))=n$ 。我们可以假设 $p(x)$ 是不可约的；否则，根据我们的归纳假设，我们就完成了。存在一个域 $K$ 使得 $p(x)$ 在 $K$ 中有一个零点 $\alpha _{1}$ 。因此， $p(x)=(x-\alpha _{1})q(x)$ ，其中 $q(x)\in K(x)$ 。由于 $deg(q(x))=n-1$ ，根据我们的归纳假设，存在 $q(x)$ 的裂解域 $E\supset K$ ，它包含 $p(x)$ 的零点 $\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}$ 。因此，

$E=K(\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})=F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})$

是 $p(x)$ 的裂解域。

现在出现了裂解域唯一性的问题。这个问题的答案是肯定的。给定一个多项式 $\phi :E\to F$

引理证明 如果 p(x) 的度数为 n，那么我们可以将 $E(\alpha )$ 中的任何元素写成 $1,\alpha ,\cdots ,\alpha ^{n-1}$ 的线性组合。因此，我们正在寻找的同构必须是

$\phi (a_{0}+a_{1}\alpha +\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1})=\psi (a_{0})+\psi (a_{1})\beta +\cdots +\psi (a_{n-1})\beta ^{n-1}$ ,

其中

$a_{0}+a_{1}\alpha +\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1}$

是 $E(\alpha )$ 中的元素。我们可以通过直接计算来验证 $\phi$ 是同构；然而，观察到 $\phi$ 是我们已知为同构的映射的复合，会更容易。

我们可以将 $\psi$ 扩展为从 E[x] 到 F[x] 的同构，我们也将用 $\psi$ 表示，让

$\psi (a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n})=\psi (a_{1})x+\cdots +\psi (a_{n})x^{n}$ .

此扩展与原始同构 $\psi :E\to F$ 一致，因为常数多项式映射到常数多项式。根据假设， $\psi (p(x))=q(x)$ ；因此， $\psi$ 将 $\left\langle p(x)\right\rangle$ 映射到 $\left\langle q(x)\right\rangle$ 。因此，我们有同构 ${\overline {\psi }}:E[x]/\left\langle p(x)\right\rangle \to F[x]/\left\langle q(x)\right\rangle$ 。我们有同构 $\sigma :E[x]/\left\langle p(x)\right\rangle \to F(\alpha )$ 和 $\tau :F[x]/\left\langle q(x)\right\rangle \to F(\beta )$ ，分别由在 $\alpha$ 和 $\beta$ 处进行求值定义。因此， $\psi =\tau ^{-1}{\overline {\phi }}\sigma$ 是所需的同构。

现在写 $p(x)=(x-\alpha )f(x)$ 和 $q(x)=(x-\beta )g(x)$ ，其中 f(x) 和 g(x) 的次数分别小于 p(x) 和 q(x) 的次数。域扩张 K 是 f(x) 关于 E(α) 的分裂域，L 是 g(x) 关于 F(β) 的分裂域。根据我们的归纳假设，存在一个同构 $\psi :K\to L$ 使得 $\psi$ 在 E(α) 上与 ${\bar {\phi }}$ 一致。因此，存在一个同构 $\psi :K\to L$ 使得 $\psi$ 在 E 上与 $\psi$ 一致。

推论 设 p(x) 是 F[x] 中的多项式。那么存在 p(x) 的分裂域 K，该域在同构意义下是唯一的。

代数闭包

给定一个域 F，自然会问我们是否可以找到一个域 E 使得每个多项式 p(x) 在 E 中都有根。这引出了以下定理。

定理 21.11 设 E 是 F 的一个域扩张。E 中关于 F 是代数的元素集合构成一个域。

证明。设 $\alpha ,\beta \in E$ 是关于 F 的代数元素。那么 $F(\alpha ,\beta )$ 是 F 的一个有限扩张。由于 $F(\alpha ,\beta )$ 的每个元素都是关于 $F,\alpha \pm \beta ,\alpha \beta$ 的代数元素，而 $\alpha /\beta {\text{ }}(\beta \neq 0)$ 都是关于 F 的代数元素。因此，E 中关于 F 的代数元素集合构成一个域。

推论 21.12 所有代数数的集合构成一个域；即，所有关于 $\mathbb {Q}$ 是代数的复数的集合构成一个域。

设 E 是域 F 的一个域扩张。我们定义 F 在 E 中的 代数闭包 为包含 E 中所有关于 F 是代数的元素的域。如果 F 上的每个非零常数多项式在 F 中都有根，则称域 F 是 代数闭 的。

定理 21.13 域 F 是代数闭的，当且仅当 F[x] 中的每个非零常数多项式在 F[x] 上分解成线性因子。

证明。设*F*为代数闭域。如果 $p(x)\in F[x]$ 是一个非零多项式，那么*p(x)*在*F*中有一个零点，比如α。因此， $x-\alpha$ 必须是*p(x)*的一个因子，因此 $p(x)=(x-\alpha )q_{1}(x)$ ，其中 $deg(q_{1}(x))=deg(p(x))-1$ 。用 $q_{1}(x)$ 继续这个过程，找到一个因式分解