抽象代数/向量空间

定义（向量空间）

令F为一个域。一个带有两个二元运算的集合V：+（加法）和$\times$（标量乘法）称为向量空间，如果它具有以下性质：

1. $(V,+)$构成一个阿贝尔群
2. $(a+b)v=av+bv$对于$a,b\in F$和$v\in V$
3. $a(v+u)=av+au$对于$a\in F$和$v,u\in V$
4. $(ab)v=a(bv)$
5. $1_{F}v=v$

标量乘法正式定义为$F\times V{\xrightarrow {\phi }}V$，其中$\phi ((f,v))=fv\in V$.

F中的元素称为标量，而V中的元素称为向量。

向量空间的一些性质

1. $0_{F}v=0_{V}=a0_{V}$
2. $(-1_{F})v=-v$
3. $av=0\iff a=0{\text{ or }}v=0$

证明

1. $0_{F}v=(0_{F}+0_{F})v=0_{F}v+0_{F}v\Rightarrow 0_{V}=0_{F}v.Also,a0_{V}=a(0_{V}+0_{V})=a0_{V}+a0_{V}\Rightarrow a0_{V}=0_{V}$
2. 我们需要证明 $v+(-1_{F})v=0_{V}$，但是 $v+(-1_{F})v=1_{F}v+(-1_{F})v=(1_{F}+(-1_{F}))v=0_{F}v=0_{V}$
3. 假设 $av=0$ 且 $a\neq 0$，那么 $a^{-1}(av)=a^{-1}0=0\Rightarrow 1_{F}v=v=0$