抽象代数/域

域和同态

定义

定义（域）

一个域 $F$ 是一个交换的幺元环，使得每个非零的 $x\in F$ 都有一个乘法逆元。换句话说，对于每个 $x\in F\setminus \{0\}$ 都存在某个 $y\in F\setminus \{0\}$ 使得 $x\cdot y=1$ .

本质上，域是一个交换的除环。

示例

$\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ （有理数、实数和复数）以及标准的 $+$ 和 $\cdot$ 运算具有域结构。这些是具有无限基数的示例。
$\mathbb {Z} _{p}$ ，模 $p$ 的整数，其中 $p$ 是一个素数，并且 $+$ 和 $\cdot$ 是模 $p,$ 是有限域的家族。
如果 $F$ 是一个域，那么 $F(x)$ ，系数在 $F$ 中的有理函数（即多项式的商）的集合，也构成一个域。
一个反例是 $\mathbb {Z} _{n}$ ，其中 $n$ 不是素数。例如， $\mathbb {Z} _{4}$ 中的 2 没有乘法逆元，因此 $\mathbb {Z} _{4}$ 不是一个域。

同态

定义（域同态）

如果 $E,F$ 是域，那么 $f:E\to F$ 是一个 **域同态**，如果

$f(a+b)=f(a)+f(b)$
$f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$
$f(1_{E})=1_{F}$

因此，域同态就是酉环同态。

引理 4.1.1

每个域同态都是单射的。

证明。 这是域的理想结构的一个简单推论。假设 $f:E\to F$ 是一个域同态。特别地，它是一个环同态，因此我们知道 ${\rm {ker}}(f)$ 是 $E$ 的一个理想。由于 $E$ 是一个域，它只有平凡理想，所以 ${\rm {ker}}(f)=\{0\}$ 或 ${\rm {ker}}(f)=E$ 。我们可以排除第二种情况，因为 $f(1_{E})=1_{F}$ ，所以该映射不能是平凡的。因此我们处于第一种情况，这意味着正是 $f$ 是单射的。 $\blacksquare$

上述引理意味着每个域同态也可以被视为域的嵌入。

就像数学中经常发生的那样，对象之间的映射会诱导出相关对象之间的其他映射。例如，拓扑空间之间的连续映射会诱导出空间上闭合曲线的集合之间的映射，而向量空间之间的线性映射会诱导出对偶空间之间的线性映射（尽管方向相反）。在这种情况下，域之间的同态会诱导出相应的多项式环之间的同态。准确地说，假设 $\varphi :E\to F$ 是一个域同态。这会诱导出一个映射 $\varphi _{*}:E[x]\to F[x]$ ，由下式给出： $\varphi _{*}(a_{0}+a_{1}x+\dots a_{n}x^{n})=\varphi (a_{0})+\varphi (a_{1})x+\dots \varphi (a_{n})x^{n}$

很容易看出 $\varphi _{*}$ 是一个（单位）环同态。此外，如果 $\varphi$ 是一个同构，那么 $\varphi _{*}$ 也是。

域的特征

域的一个重要性质是其特征。首先我们需要考虑从 $\mathbb {Z}$ 到域 $F$ 的典范同态 $\varphi$ 。当然，这是通过将单位映射到单位来定义的。由于 $\mathbb {Z}$ 由 $1$ 生成，这足以定义整个同态。根据同态基本定理，我们知道 $\mathbb {Z} /{\textrm {ker}}(\varphi )\cong \varphi (\mathbb {Z} )\subseteq F$ 。特别是，这意味着 $\varphi (\mathbb {Z} )$ 是 $F$ 的一个子环，甚至是一个子域，因此是一个整环。因此 ${\textrm {ker}}(\varphi )$ 是 $\mathbb {Z}$ 的一个素理想。存在一个唯一的非负整数生成此理想。我们称这个整数为 $F$ 的特征。根据上述论证，如果特征不为零，则特征必须是素数。

直观地说，域 $F$ 的特征是最小的正整数 $p$ （如果存在），使得 $\underbrace {1+\dots +1} _{p{\text{ times}}}=0$ 如果不存在这样的正整数，那么 $F$ 的特征为 0。例如， $\mathbb {Z} _{p}$ 的特征都是 $p$ ，而 $\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ 和 $\mathbb {C}$ 的特征为 0。

有时，我们将上述典范同态下 $\mathbb {Z}$ 的像称为 $F$ 的 *素域*。因此，有限域的素域是（同构于） $\mathbb {Z} _{p}$ （其中 $p$ 是 $F$ 的特征），特征为 0 的域的素域是（同构于） $\mathbb {Q}$ 。

域扩张

定义（域扩张）

设 $F$ 和 $G$ 是域。如果 $F\subseteq G$ 且存在从 $F$ 到 $G$ 的嵌入，则 $G$ 是 $F$ 的 **域扩张**。

令 $G$ 是 $F$ 的一个扩张。由于我们可以通过 $G$ 上的乘法，用 $F$ 的元素对 $G$ 的元素进行缩放， $G$ 构成一个关于 $F$ 的向量空间（可以验证向量空间的所有公理都成立）。这个向量空间的维数是扩张的次数， $[G:F]$ 。如果次数是有限的，那么 $G$ 是 $F$ 的有限扩张，而 $G$ 关于 F 的次数为 $n=[G:F]$ 。

示例

复数 $\mathbb {C}$ 是实数 $\mathbb {R}$ 的一个域扩张。这个扩张的次数是 2。
类似地，可以将虚数 $i$ 添加到有理数域 $\mathbb {Q}$ 中，形成 $\mathbb {Q} (i)$ 高斯有理数域。这也是一个次数为 2 的扩张。
实数 $\mathbb {R}$ 构成一个关于 $\mathbb {Q}$ 的域扩张，但这不是一个有限扩张，因为实数关于 $\mathbb {Q}$ 不构成一个有限维（甚至是一个可数无限维）向量空间。

代数扩张

定义（代数扩张）

令 $K$ 是 $F$ 的一个扩张。那么 $\lambda \in K$ 关于 $F$ 是代数的，如果存在一个非零多项式 $f(x)\in F[x]$ 使得 $f(\lambda )=0$ 。 $K$ 是 $F$ 的一个代数扩张，如果 $K$ 是 $F$ 的一个扩张，使得 $K$ 中的每一个元素都关于 $F$ 是代数的。

例如， $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ 是 $\mathbb {Q}$ 上的代数扩张（如果 $a+b{\sqrt {2}}$ 是 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ 中的任意元素，那么它是 $f(x)=(x-a)^{2}-2b^{2}$ 的根），但 $\mathbb {R}$ 不是 $\mathbb {Q}$ 上的代数扩张，因为例如 $\pi$ 不是任何有理多项式的根（这是一个非常难证明的命题）。

定义（最小多项式）

如果 $x$ 是 $F$ 上的代数数，那么在 $F[x]$ 中以 $x$ 为根的多项式集合是 $F[x]$ 的一个理想。这是一个主理想整环，因此该理想由一个唯一的首一非零多项式 $m(x)$ 生成。我们定义 $m(x)$ 为最小多项式。

例如， $i$ 的极小多项式是 $x^{2}+1$ ，而 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 的极小多项式是 $x^{3}-2$ ，两者都是关于 $\mathbb {Q}$ 的。需要注意的是，极小多项式在很大程度上依赖于它所处的域。 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 关于 $\mathbb {R}$ 的极小多项式就简单是 $x-{\sqrt[{3}]{2}}$ .

分裂域

我们在这项研究中的主要目标是找到给定多项式的根。伽罗瓦和伽罗瓦理论的杰出见解是通过考察域扩张来（试图）回答这个问题。下面的两个引理可能有助于激发这种推理。

引理 4.1.2

假设 $F$ 是一个域， $f(x)\in F[x]$ 是一个多项式。那么存在一个（有限的）域扩张 $E$ of $F$ ，使得 $E$ 包含 $f(x)$ 的一个根。

Proof. Suppose first that $f(x)$ is irreducible. Then we can take $E=F[x]/(f(x))$ . We know that $E$ is indeed a field because $f(x)$ is irreducible. Moreover it contains an isomorphic copy of $F$ as the (equivalence classes of) the constant polynomials. Finally $[x]$ , the equivalence class of the linear polynomial $x$ , is a root of $f(x)$ since $f([x])=[f(x)]=0\in F[x]/(f(x))$ Finally the degree of $E$ over $F$ is exactly the degree of the polynomial $f(x)$ (which hopefully motivates the terminology). This is due to the division algorithm. Suppose $g(x)$ is any polynomial in $F[x]$ . Then we know by the division algorithm that there exist unique polynomials $q(x)$ and $r(x)$ such that $g(x)=q(x)f(x)+r(x)$ where $\deg(r(x))<\deg(f(x))$ . In particular, this means every equivalence class $[g(x)]$ contains a unique representative whose degree is less than $\deg(f(x))$ . Therefore $E$ is spanned by $\{1,[x],[x^{2}],\dots ,[x^{n-1}]\}$ where $n=\deg(f(x))$ . If $f(x)$ is not irreducible then it can be written as a product of irreducibles and applying the above process to any of these produces an extension which contains a root of at least one of these irreducible polynomials and hence contains a root of $f(x)$ . $\blacksquare$

我们知道 $x^{2}+1$ 关于 $\mathbb {R}$ 是不可约的，因此 $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ 是一个域，并且可以验证该域与 $\mathbb {C}$ 同构。事实上，有时将复数定义为这个商 $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ 。

引理 4.1.3

假设 $E$ 是 $F$ 的一个扩张。令 $f(x)$ 是 $F[x]$ 中的一个不可约多项式，使得 $E$ 包含 $\alpha$ ，它是 $f(x)$ 的根。令 $F(\alpha )$ 是包含 $F$ 和 $\alpha$ 的 $E$ 的最小子域。那么 $F(\alpha )\cong F[x]/(f(x))$ .

证明。 包含 $F$ 和 $\alpha$ 的最小子域是指 $E$ 中包含它们的所有子域的交集。这些域的集合非空，因为它包含 $E$ 例如，并且很容易看到子域的交集仍然是一个子域。

如果 $f(x)$ 的度数为 1，那么我们已经完成了，因为这意味着 $\alpha \in F$ 所以 $F(\alpha )=F$ ，并且根据引理 4.1.1 末尾的论证，我们有 $F[x]/(f(x))\cong F$ 。那么我们可以假设 $\deg(f(x))\geq 2$ .

为了证明同构性，我们定义一个环同态 ${\begin{aligned}\varphi :F[x]&\to F(\alpha )\\g(x)&\mapsto g(\alpha )\end{aligned}}$ 换句话说， $\varphi$ 对多项式的作用是简单地将它们在 $\alpha$ 处求值。根据定义，我们知道 $f(x)\in {\textrm {ker}}(\varphi )$ ，因为 $f(\alpha )=0$ 。由于假设 $f(x)$ 是不可约的，所以它也必须生成核（否则它将是核的生成元的非平凡倍数）。那么根据第一同构定理，我们知道 $F[x]/(f(x))$ 同构于 $F(\alpha )$ 的一个子域。注意 $F[x]/(f(x))$ 包含 $F$ 作为常数多项式的像，并且它包含 $\alpha$ 作为 $x$ 的像。根据假设， $F(\alpha )$ 是包含这两者的最小子域，所以我们必须有 $F[x]/(f(x))\cong F(\alpha )$ 。 $\blacksquare$

上面的第一个引理告诉我们，我们总能找到一个包含不可约多项式根的域扩张，方法是模掉这个多项式。第二个引理告诉我们，任何包含解的域扩张都是这种形式的（直到同构）。因此，我们将花费大量时间研究域上的多项式环并研究它的商空间。

人们通常将 $F(\alpha )$ 视为 '附加' 到域 $F$ 上的根 $\alpha$ 。粗略地说，我们将 $\alpha$ 添加到域中，然后通过添加所有可能的和、积、逆等，以及 $\alpha$ 满足给定多项式的进一步条件，使之在域运算下封闭。事实上，这正是前一个引理中的构造所做的。

引理 4.1.3 的一个重要结果是不可约多项式的根在代数上是不可区分的（这将在定理 4.1.4 中得到精确说明，特别是由其推论 4.1.5 所证明）。例如，我们知道 ${\sqrt {2}}$ 和 $-{\sqrt {2}}$ 都是 $x^{2}-2$ 的解。这两个根之间没有代数上的区别；为了区分它们，我们需要诸如 $-{\sqrt {2}}<0$ 以及 ${\sqrt {2}}>0$ 这样的拓扑信息。类似地， $i$ 和 $-i$ 都是 $x^{2}+1$ 的解。交换这些根正是导致复共轭的原因。(不可约) 多项式的根彼此等价这一事实是伽罗瓦理论的关键思想之一。

定理 4.1.4

令 $F,{\widetilde {F}}$ 为域， $f(x)\in F[x]$ 为不可约多项式。令 $\varphi :F\to {\widetilde {F}}$ 为域同构。令 ${\widetilde {f}}(x)$ 为多项式 $\varphi _{*}(f(x))$ 。令 $\alpha$ 为 $f(x)$ 的根（在 $F$ 的某个扩张中），令 $\beta$ 为 ${\widetilde {f}}(x)$ 的根（在 ${\widetilde {F}}$ 的某个扩张中）。则存在同构 $\sigma :F(\alpha )\to {\widetilde {F}}(\beta )$ ，它在 $F$ 上与 $\varphi$ 一致。

证明。 由于 $\varphi$ 是一个同构，且 $f(x)$ 是不可约的，我们必须有 ${\widetilde {f}}(x)$ 也是不可约的（因为如果我们有 ${\widetilde {f}}(x)=g_{1}(x)g_{2}(x)$ ，那么 $f(x)=(\varphi ^{-1})_{*}(g_{1}(x))\cdot (\varphi ^{-1})_{*}(g_{2}(x))$ ，这将与 $f(x)$ 的不可约性相矛盾）。然后 $f(x)$ 和 ${\widetilde {f}}(x)$ 在各自的环中生成极大理想，环同构 $\varphi _{*}$ 扩展到商的同构（域同构） $F[x]/(f(x))\to {\widetilde {F}}[x]/({\widetilde {f}}(x))$ 我们根据前一个定理知道，定义域同构于 $F(\alpha )$ ，陪域同构于 ${\widetilde {F}}(\beta )$ ，并且该映射与 $\varphi$ 在 $F$ 上一致，这是由构造决定的。 $\blacksquare$

推论 4.1.5

设 $F,{\widetilde {F}}$ 是域，且 $f(x)\in F[x]$ 是一个不可约多项式。假设 $\alpha ,\beta$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 的某些（可能不同的）扩张域中的根。那么 $F(\alpha )\cong F(\beta )$ 。

证明： 将上一定理应用于 $F={\widetilde {F}}$ 且 $\varphi$ 为恒等映射的情况。

定义（分裂域）

令 $F$ 为一个域， $f(x)\in F[x]$ 且 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ 是 $f(x)$ 的根。那么，包含 $a_{1},...,a_{n}$ 的 $F$ 的最小域扩张 $E$ 被称为 $f(x)$ 关于 $F$ 的分裂域。换句话说， $E$ 的任何真子域都不包含 $F$ 和所有的 $a_{1},\dots ,a_{n}$ 。

分裂域的存在性和唯一性

我们将看到，与其考虑任意域扩张，分裂域将是需要考虑的东西。首先我们需要知道它们总是存在的。

定理 4.1.6

令 $F$ 为一个域， $f(x)\in F[x]$ 为一个多项式。那么，存在 $F$ 的一个域扩张 $E$ ，它是 $f(x)$ 的分裂域。

Proof. This is a largely uninteresting case of proof by induction. We will induct on the degree of $f(x)$ . If $f(x)$ is linear, then clearly its roots (in fact just the one root) is contained in $F$ so $F$ itself is a splitting field. Suppose $\deg(f(x))>1$ . If $f(x)$ splits into the product of linear terms, then again all the roots are contained in $F$ , so we already have a splitting field. So suppose $f(x)$ has an irreducible factor of degree at least 2. Then there exists a field extension $E_{1}$ containing a root $\alpha$ of $f(x)$ . Then in $E_{1}$ , we can factorise the polynomial into $f(x)=(x-\alpha )f_{1}(x)$ where $f_{1}(x)$ is a polynomial of degree $\deg(f(x))-1$ . Then by induction there exists $E_{2}$ a field extension of $E_{1}$ that is a splitting field of $f_{1}(x)$ . Therefore $E_{2}$ is a field extension of $F$ that contains all the roots of $f(x)$ . Taking the intersection of all subfields of $E_{2}$ containing $F$ and the roots of $f(x)$ gives us $E$ , a splitting field of $f(x)$ . $\blacksquare$

上面我们谨慎地使用了一个分裂域来描述 $f(x)$ 。事实上，这是一个不必要的谨慎，因为一个多项式的分裂域在同构意义下是唯一的。这来自于定理 4.1.4 的一个推广，我们声称定理的陈述即使我们在附加多项式的所有根时，而不是只附加一个根，仍然成立。

定理 4.1.7

设 $F,{\widetilde {F}}$ 是域，且 $f(x)\in F[x]$ 是一个多项式。设 $\varphi :F\to {\widetilde {F}}$ 是域同构。设 ${\widetilde {f}}(x)$ 是多项式 $\varphi _{*}(f(x))$ 。设 $E$ 是 $f(x)$ 的分裂域， ${\widetilde {E}}$ 是 ${\widetilde {f}}(x)$ 的分裂域。那么存在一个同构 $\sigma :E\to {\widetilde {E}}$ ，它在 $F$ 上与 $\varphi$ 一致。

Proof. This is once again a proof by induction on the degree of $f(x)$ . If $f(x)$ is of degree 1 or indeed splits into factors of degree 1 then the splitting field of $f(x)$ is $F$ so we can take $\sigma =\varphi$ . Thus suppose $f(x)$ has an irreducible factor $p(x)$ of degree at least 2 so ${\widetilde {p}}(x)=\varphi _{*}(p(x))$ is an irreducible factor of ${\widetilde {f}}(x)$ . Then by the previous theorem we know $\varphi$ extends to an isomorphism $\psi :F(\alpha )\to {\widetilde {F}}(\beta )$ where $\alpha$ is a root of $p(x)$ and $\beta$ is a root of ${\widetilde {p}}(x)$ . Therefore over $F(\alpha )$ and ${\widetilde {F}}(\beta )$ respectively we can write $f(x)=(x-\alpha )f_{1}(x)$ and ${\widetilde {f}}(x)=(x-\beta ){\widetilde {f}}_{1}(x)$ . Notice that $E$ is a splitting field of $f_{1}(x)$ over $F(\alpha )$ . Indeed if a splitting field was strictly contained within $E$ , then it would contain all the roots of $f_{1}(x)$ and $\alpha$ and hence would contain all the roots of $f(x)$ . But this would contradict $E$ being a splitting field of $f(x)$ . Of course the same holds true for ${\widetilde {f}}_{1}(x)$ over ${\widetilde {F}}(\beta )$ . Since $f_{1}(x)$ and ${\widetilde {f}}_{1}(x)$ have degree strictly less than $\deg(f(x))$ , by induction we can assume that the statement of theorem holds for them. In particular, $\psi$ extends to an isomorphism $\sigma :E\to {\widetilde {E}}$ . But since $\psi$ was an extension of $\varphi$ , $\sigma$ must also be an extension of $\varphi$ concluding the proof. $\blacksquare$

推论 4.1.8

设 $F$ 是域，且 $f(x)\in F[x]$ 是一个多项式。如果 $E,{\widetilde {E}}$ 是 $f(x)$ 的分裂域，那么它们同构。

证明。将定理 4.1.7 应用于 $F={\widetilde {F}}$ 和 $\varphi$ 为恒等映射的情况。 $\blacksquare$

有限域的分类

定理 4.1.9

如果 $F$ 是一个有限域，那么对于某个素数 $p$ 和自然数 $n$ ，有 $\mid F\mid =p^{n}$ 。

证明。由于 $F$ 是一个有限域，我们知道它的素域是 $\mathbb {Z} _{p}$ ，其中 $p$ 是某个素数。素域是 $F$ 的子域，因此 $F$ 在 $\mathbb {Z} _{p}$ 上形成一个向量空间。由于 $F$ 是有限的，它必须是有限维向量空间，特别是我们必须有 $F\cong (\mathbb {Z} _{p})^{n}$ ，对于某个 $n$ （作为向量空间），因此 $\mid F\mid =p^{n}$ 。 $\blacksquare$