声学/贝塞尔函数和定音鼓

简介

在课堂上，我们已经开始讨论多维波动方程的解。这些多维解中特别有趣的是针对圆形边界条件的贝塞尔函数解。这些解的实际应用是定音鼓。此页面将以定性和定量的方式探讨定音鼓的工作原理。更具体地说，定音鼓将被引入为一个圆形膜，并以视觉方式讨论其解（例如，贝塞尔函数的可视化，定音鼓的视频和音频形式（定音鼓播放的 wav 文件）。此外，将包含指向有关此材料的更多信息的链接，包括参考文献。

定音鼓背后的数学：简短版

当人们观察定音鼓是如何产生声音时，应该关注鼓面。这个圆形膜（以及鼓腔内的空气）的振动是该乐器产生声音的原因。这种振动鼓面的数学原理相对简单。如果观察鼓面上的一个微小元素，它看起来与振动弦的数学模型完全一样（见：）。唯一的区别是，元素受到来自两个维度的力的作用，这两个维度与鼓面共面。由于情况相同，我们有相同的方程，只是在另一个平面维度上还有一个空间项。这使我们能够使用亥姆霍兹方程对鼓面进行建模。下一步（在下面详细解决）是假设鼓面（在极坐标中）的位移是 θ 和 r 的两个独立函数的乘积。这使我们能够将 PDE 转化为两个易于求解并应用于定音鼓面情况的 ODE。有关更多信息，请参见下文。

定音鼓背后的数学：推导

所以从可靠的通用亥姆霍兹方程开始

$\nabla ^{2}\Psi +k^{2}\Psi =0.$

其中 $k$ 是波数，即膜中强制振荡的频率除以声速。

由于我们正在处理一个圆形物体，因此使用极坐标（以半径和角度表示）而不是直角坐标更有意义。对于极坐标，亥姆霍兹关系的拉普拉斯项 ($\nabla ^{2}$) 变为 ${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \theta ^{2}}}$

使用变量分离法（有关更多信息，请参见参考文献 3），我们将假设以下形式的解

$\Psi (r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ).$

将此结果代回我们的可靠亥姆霍兹方程，然后乘以 $r^{2}/(R\Theta )$ 得出

${\frac {1}{R}}\left(r^{2}{\frac {d^{2}R}{dr^{2}}}+r{\frac {dR}{dr}}\right)+k^{2}r^{2}=-{\frac {1}{\Theta }}{\frac {d^{2}\Theta }{d\theta ^{2}}},$

我们将与 $\theta$ 相关的项移到等式右边。由于我们将解的变量分离成两个一维函数，偏导数变为常导数。为了使上述等式在 $r$ 和 $\theta$ 发生变化时始终成立，等式两边必须等于某个常数。为了简便起见，我将使用 $\lambda ^{2}$ 作为这个常数。这将得到以下两个方程。

${\frac {d^{2}\Theta }{d\theta ^{2}}}=-\lambda ^{2}\Theta ,$

$r^{2}{\frac {d^{2}R}{dr^{2}}}+r{\frac {dR}{dr}}+(k^{2}r^{2}-\lambda ^{2})R=0.$

第一个方程很容易看出是一个标准的二阶常微分方程，它有一个基于 $\lambda$ 的频率的正弦和余弦的谐波解。第二个方程被称为贝塞尔方程。这个方程的解被神秘地称为第一类和第二类 $\lambda$ 阶贝塞尔函数。这些函数，虽然听起来很吓人，但仅仅是半径乘以波数的振荡函数。两组函数随着 $kr$ 变大而衰减，但对于第二类贝塞尔函数，当 $kr$ 趋于零时是无界的。

第一类贝塞尔函数。

现在我们已经得到了这个方程的通解，我们现在可以模拟一个无限半径的铜鼓鼓面。但是，由于我还没有见过无限大的铜鼓，我们需要将这个振动膜的解限制在有限的半径内。我们可以通过应用我们对圆形膜的了解来做到这一点：在铜鼓的边缘，鼓面被固定在鼓上。这意味着膜在铜鼓半径处的终止处不能发生位移。这个边界条件可以用以下数学描述

$R(a)=0$

其中 a 是铜鼓的任意半径。除了这个边界条件之外，鼓面在中心的位移必须是有限的。第二个边界条件从解中去掉了第二类贝塞尔函数。这将我们解的 $R$ 部分简化为

$R(r)=AJ_{\lambda }(kr)$

其中 $J_{\lambda }$ 是 $\lambda$ 阶的第一类贝塞尔函数。在鼓的半径处应用我们的另一个边界条件要求波数 $k$ 必须具有离散值 ( $j_{mn}/a$ )，可以查阅这些值。将所有这些组合在一起，我们就得到了鼓面如何运动的解（即以下结果的实部）

$y_{\lambda n}(r,\theta ,t)=A_{\lambda n}J_{\lambda n}(k_{\lambda n}r)e^{j\lambda \theta +jw_{\lambda n}t}$

定音鼓背后的数学：整个鼓

上述推导仅针对鼓面。实际的定音鼓有一侧的圆形膜被封闭的空腔包围。这意味着当膜振动时，空腔中的空气会被压缩，这给求解增加了更多复杂性。用数学术语来说，这使得偏微分方程非齐次，或者简单地说，亥姆霍兹方程的右侧不等于零。这个结果需要更多的推导，这里将不再赘述。如果读者想了解更多，这些结果在参考文献 6 和 7 中有讨论。

感兴趣的网站

从上面的推导可以看出，定音鼓在数学上非常有趣。然而，它在世界各地也有着丰富的历史音乐传统。由于本页的重点是数学，下面提供了一些链接，这些链接参考了这种丰富的历史。

• 关于波斯定音鼓的讨论：伊朗和其他国家的定音鼓
• 关于定音鼓在古典音乐中的讨论：定音鼓文献
• 一个关于定音鼓的历史、结构和技巧的巨型资源：维也纳交响乐团图书馆

参考文献

1. Eric W. Weisstein. "Bessel Function of the First Kind." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html
2. Eric W. Weisstein. "Bessel Function of the Second Kind." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheSecondKind.html
3. Eric W. Weisstein. "Bessel Function." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BesselFunction.html
4. Eric W. Weisstein et al. "Separation of Variables." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/SeparationofVariables.html
5. Eric W. Weisstein. "Bessel Differential Equation." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html
6. Kinsler and Frey, "Fundamentals of Acoustics", fourth edition, Wiley & Sons
7. Haberman, "Applied Partial Differential Equations", fourth edition, Prentice Hall Press