声学/声学基础

简介

声音是通过气体、液体或固体以行进的波形式传播的压力振荡，可以由介质中任何局部的压力变化产生。理解声音传播的一个简单方法是将空间划分为薄层。这些薄层的振动（连续压缩和松弛），以一定的速率进行，使声音能够传播，从而产生波。声音的速度取决于介质的压缩性和密度。

在本章中，我们只考虑声音波在没有声源的区域中传播，在均匀流体中。

波动方程

声波由一个标量，即声学超压的传播组成。声波在静止介质（例如静止的空气或水）中的传播由以下方程控制（参见波动方程）

$\nabla ^{2}p-{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=0$

该方程是通过使用守恒方程（质量、动量和能量）以及理想气体（或理想可压缩固体或液体）的热力学状态方程得到的，假设压力变化很小，并且忽略粘性和热传导，这些因素会产生其他项，解释声音衰减。

在声波的传播方程中，$c_{0}$是声波的传播速度（与空气层的振动速度无关）。这种传播速度有以下表达式

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\rho _{0}\chi _{s}}}}$

其中$\rho _{0}$是密度，$\chi _{S}$是传播介质的压缩系数。

亥姆霍兹方程

由于声波的速度场${\underline {v}}$对于声波是无旋的，我们可以定义一个声势$\Phi$，通过

${\underline {v}}={\text{grad }}\Phi$

使用上一段的传播方程，很容易得到新的方程

$\nabla ^{2}\Phi -{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}=0$

应用傅里叶变换，我们得到广泛使用的亥姆霍兹方程

$\nabla ^{2}{\hat {\Phi }}+k^{2}{\hat {\Phi }}=0$

其中 $k$ 是与 $\Phi$ 相关的波数。使用此方程式通常是解决声学问题的最简单方法。

声强和分贝

声强表示与波传播相关的声能通量

${\underline {i}}(t)=p{\underline {v}}$

然后我们可以定义平均强度

${\underline {I}}=\langle {\underline {i}}\rangle$

然而，声强不能很好地反映声音的强度，因为我们耳朵的灵敏度是对数的。因此，我们定义分贝，无论是使用声压还是声平均强度

$p^{\rm {dB}}=20\log \left({\frac {p}{p_{\mathrm {ref} }}}\right)$  ; $L_{I}=10\log \left({\frac {I}{I_{\mathrm {ref} }}}\right)$

其中 $p_{\mathrm {ref} }=2*10^{-5}~{\rm {Pa}}$ 适用于空气，或者 $p_{\mathrm {ref} }=10^{-6}~{\rm {Pa}}$ 适用于任何其他介质，以及 $I_{\mathrm {ref} }=10^{-12}~{\rm {W/m}}^{2}$.

求解波动方程

平面波

如果我们研究声波的传播，远离声源，它可以被认为是平面一维波。如果传播方向沿x轴，则解为

$\Phi (x,t)=f\left(t-{\frac {x}{c_{0}}}\right)+g\left(t+{\frac {x}{c_{0}}}\right)$

其中f和g可以是任何函数。f描述了向x增加方向的波动，而g描述了向x减小方向的波动。

动量方程提供了$p$ 和 ${\underline {v}}$ 之间的关系，从而得出以下定义的声阻抗表达式：

${\frac {p}{v}}=Z=\pm \rho _{0}c_{0}$

对于平面波，我们还可以得到声强度的表达式：

${\underline {i}}=\pm {\frac {p^{2}}{\rho _{0}c_{0}}}{\underline {e_{x}}}$

球面波

更一般地，波在任何方向传播，形成球面波。在这些情况下，声势$\Phi$ 的解为：

$\Phi (r,t)={\frac {1}{r}}f\left(t-{\frac {r}{c_{0}}}\right)+{\frac {1}{r}}g\left(t+{\frac {r}{c_{0}}}\right)$

声势随声源距离线性下降，这仅仅是能量守恒的结果。对于球面波，我们也可以很容易地计算出声阻抗和声强。

边界条件

关于用于求解波动方程的边界条件，我们可以区分两种情况。如果介质不吸收，边界条件可以通过力学中的常用方程来建立。但在吸收材料的情况下，使用声阻抗的概念更为简单。

非吸收材料

在这种情况下，我们可以得到界面上应力和速度的明确边界条件。这些条件取决于介质是固体、无粘性流体还是粘性流体。

吸收材料

这里，我们使用声阻抗作为边界条件。这种阻抗通常由实验测量给出，取决于材料、流体和声波的频率。