高级几何/基本作图与几何思维

符号

点

A, B, C ... 用于表示点。除了表示空间中的点外，大写罗马字母也可以表示顶点及其对应的角。

线

对于任意两点A和B

[AB) 表示从A开始并经过B的射线。
(AB) 表示经过两点的直线。
[AB] 或 AB 表示从A开始并以B结束的线段。

除了印刷上的方便之外，这种符号是为了反映用来表示实数线的区间符号。

多边形

多边形中的角

对于角，给定两个端点A和C，顶点为B，则该角用∠ABC表示。

一般多边形

对于多边形，字母a, b, c... 表示多边形的边。多边形的边总是用小写斜体罗马字母表示。在三角形的情况下，边a, b, c... 表示与顶点A, B, C... 相对的边。

三角形

三角形的周长为2p。我们使用这种符号，以便我们可以简单地将半周长表示为p。

h_a, h_b 和 h_c 表示三角形ABC的对应边a, b, c上的高，m_a, m_b, 和 m_c 表示中线。

t_a 是∠A的内角平分线。T_a 是∠A的外角平分线。

圆

$R$ 和 $r$ 分别是外接圆和内切圆的半径。

$[A,r]$ 表示以点 $A$ 为圆心，线段 $r$ 的长度为半径的圆。 $r$ 不必是实际线段——只需其长度即可。

交点

$M=\langle AB,CD\rangle$ 表示两条直线 $AB$ 和 $CD$ 的交点。或者，如果 $a$ 和 $b$ 已定义，交点可以用 $M=\langle a,b\rangle$ 表示。如果使用圆来表示交点，并且存在歧义，则将在之后指定方向，以便读者可以选择合适的交点。

作平行线

问题：给定一条已存在的直线 $a$ 和一个不在该直线上的点 $P$ ，过该点作一条平行于 $a$ 的直线。

解决方案： 画一条任意直线 $b$ ，使其经过点 $P$ 并与 $a$ 相交。令 $Q=\langle a,b\rangle$ 。画一个以 $Q$ 为圆心的任意半径的圆。令 $R$ 为以 $Q$ 为圆心的圆与直线 $b$ 的北交点。画圆 $[P,QR]$ 。令 $S=\langle [P,QR],b\rangle$ 为北。令 $T=\langle [Q,QR],a\rangle$ 为东。画出 $[T,TR]$ 和 $[S,TR]$ 。令 $U=\langle [P,QR],[S,TR]\rangle$ 为东南。画一条经过 $P$ 和 $U$ 的直线。这条新直线将平行于 $a$ 。

证明： 此证明依赖于以下定理：如果 $\angle SPU$ 和 $\angle RQT$ 全等，那么 ${\overleftrightarrow {PU}}$ 平行于 ${\overleftrightarrow {QT}}$ 。假设上述命题是错误的，并且在 $\angle SPU=\angle RQT$ 的情况下，两条直线不平行。因此，必定存在一点 $Z$ 使 ${\overleftrightarrow {PU}}$ 和 ${\overleftrightarrow {QT}}$ 相交。因此，形成了三角形 QPZ。由于 $\angle SPU=\angle RQT$ ，因此 $\angle UPR$ 与 $\angle RQT$ 互为补角。也就是说，由于 $\angle UPR$ 与 $\angle RQT$ 互为补角， $\angle PZQ$ 必须等于零度，这是不可能的，因此， ${\overleftrightarrow {PU}}$ 平行于 ${\overleftrightarrow {QT}}$ 。

请注意，此证明只适用于右侧。证明左侧基本相同，只是符号不同，留给读者练习。

将线段分成 N 等份

问题： 将给定线段分成 n 等份，其中 n 是大于 2 的整数。

解：我们以 n = 3 为例，但使用的方法应该使读者可以轻松地将其推广到更大的 n 值。为了方便起见，我们将给定的线段称为 ${\overline {AB}}$ 。

Construct a circle of arbitrary length at point $A$ . Create an arbitrary point $C$ so that it lies on the circle we just made. Construct the line ${\overleftrightarrow {AC}}$ . Construct $[C,AC]$ . Let $D=\langle [C,AC],{\overleftrightarrow {AC}}\rangle$ north. Construct $[D,AC]$ . For convenience's sake, let's call ${\overleftrightarrow {AC}}$ , line $a$ . Let $E=\langle [D,AC],a\rangle$ north. Construct ${\overleftrightarrow {EB}}$ . Let's call ${\overleftrightarrow {EB}}$ , line $b$ . To complete this, construct parallel lines through $D$ and $C$ , and make both lines parallel to $b$ . Let us call the parallel line through $C$ , line $c$ , and let us call the parallel line through $D$ , line $d$ . Let $F=\langle {\overline {AB}},d\rangle$ and let $G=\langle {\overline {AB}},c\rangle$ . These two points shall divide ${\overline {AB}}$ into three.

如果我们要将此推广到更大的 n 值，只需在 $a$ 上构造 (n-3) 个圆，然后按照剩余的步骤进行即可。

证明：如果我们回顾我们的构造，应该注意到我们还构造了三个三角形：三角形 ACG、三角形 ADF 和三角形 AEB。所有这些三角形共用 $\angle CAG$ 。此外，由于 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 都彼此平行， $\angle CGA\,,\angle DFA\,,$ 和 $\angle EBA$ 都彼此全等。根据角角相似，可以得出三角形 ACG、ADF 和 AEB 彼此相似。

由于我们之前构造圆形的方式， ${\overline {AC}}$ 是 ${\overline {AE}}$ 的三分之一。由于三角形 ACG 与三角形 AEB 相似，因此 ${\overline {AG}}$ 是 ${\overline {AB}}$ 的三分之一。同样， ${\overline {AD}}$ 是 ${\overline {AE}}$ 的三分之二，使得 ${\overline {AF}}$ 是 ${\overline {AB}}$ 的三分之二。然而，由于我们已经确定 ${\overline {AG}}$ 是 ${\overline {AB}}$ 的三分之一，因此通过减法可以得出 ${\overline {GF}}$ 是 ${\overline {AB}}$ 的三分之一。最后，由于 ${\overline {AF}}$ 是 ${\overline {AB}}$ 的三分之二，因此通过减法可以得出 ${\overline {FB}}$ 必须是三分之一。

由于每一段都是总长度的三分之一，因此 ${\overline {AB}}$ 被分成 3 个相等的片段。

对于大于 2 的所有整数 n，我们也可以看到全等关系是如何起作用的，但证明这一点既乏味又不必要。

垂直平分线

问题：给定一条线段，构造其垂直平分线。

解：将你的圆规设置为大于线段一半的半径。以线段的端点为圆心，构造两个半径为该半径的圆。圆应该有两个交点。将它们连接起来。这条线将同时是线段的垂直平分线。

证明：这或多或少是等距定理的直接结果。

过一点的垂直线

问题：给定一条直线和直线上的一点，构造一条过该点的直线，使其垂直于给定的直线。

解法： 我们将这条线称为 $d$ ，并将这个点称为 $P$ 。将圆规的半径设置得足够大，使其以 $P$ 为圆心与 $d$ 相交于两点。圆形构建完成后，我们将这两个交点分别称为 $A$ 和 $B$ 。在 $A$ 和 $B$ 上构建两个等径圆，我们将这两个圆的交点分别称为 $C$ 和 $D$ 。通过 $C$ 和 $D$ 构建一条线，它将穿过给定点，并且垂直于给定线。

证明： 两个初始交点到 $p$ 的距离相等，通过构建另外两个圆，我们就得到了两个距离 $A$ 和 $B$ 相等的另外一点。根据等距定理，新构建的线段是线段 ${\overline {AB}}$ 的垂直平分线，这使得它垂直于给定线。

构建比例线

问题： 假设你有三条线段：线 $a$ ，线 $b$ ，和线 $c$ 。它们没有构成多边形或任何其他形状，仅仅是三条普通的线段。构造另一条线段称为 $d$ ，使得 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ 。

解决方案： 构造一条随机的线（我们将其称为 $d$ ）。构造一个任意点，使其位于 $d$ 上，称为 $A$ 。构造 $[A,a]$ 。令 $B=\langle [A,a],d\rangle$ 向西。构造 $[B,a]$ 。令 $C=\langle [B,a],d\rangle$ 向西。构造 ${\overline {AC}}$ 的垂直平分线，我们将其称为 $w$ 。

现在，我们对线段 $b$ 执行类似的操作。构造 $[A,b]$ 。令 $E=\langle [A,b],d\rangle$ 向东。构造 $[E,b]$ 。令 $F=\langle [E,b],d\rangle$ 向东。构造线段 ${\overline {AF}}$ 的垂直平分线，我们将其称为 $x$ 。

构建 $[B,c]$ 。令 $G=\langle [B,c],w\rangle$ 。构建直线 ${\overleftrightarrow {GA}}$ ，并使其与直线 $x$ 相交于 H。线段 ${\overline {HE}}$ 将满足该性质。

证明：三角形 ABG 和三角形 AEH 都是直角三角形。此外，它们有一个公共顶角，该角相等。因此，根据相似三角形定义， ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

求几何平均数

问题： 给定两条线段 $a$ 和 $b$ ，求这两条线段的几何平均数。

解决方案： 创建一个点 $A$ 并构建 $[A,a]$ 。在新建的圆上构建一个点，称为 $B$ 。构建圆 $[B,b]$ 。构建直线 ${\overleftrightarrow {AB}}$ ，记为 $c$ 。令 $C=\langle a,[B,b]\rangle$ 。构建一条穿过 $B$ 且垂直于 $c$ 的直线；这条直线称为 $d$ 。平分线段 ${\overline {AC}}$ 。令 $D$ 为该平分点。构建圆 $[D,{\overline {AD}}]$ 。令 $E=\langle [D,{\overline {AD}}],d\rangle$ 。线段 ${\overline {BE}}$ 将满足条件。

证明： 此构造的证明依赖于两个步骤：第一步是证明对于任何直角三角形， $f^{2}=ab$ （见图 1）。之后，我们必须证明我们构建了这样一个直角三角形。

为了证明第一部分，我们需要注意到一些性质。根据定义，高线 $f$ 垂直于斜边。这意味着 $\angle ADB$ 和 $\angle BDC$ 都是直角。现在，请注意 $\angle CBD+\angle DBA=90^{\circ }$ 。此外， $\angle DAB+\angle DBA=90^{\circ }$ 。将这两个等式设为相等，得到 $\angle DAB+\angle DBA=\angle CBD+\angle DBA$ 。因此，通过减法， $\angle DAB=\angle CBD$ 。由于我们已经证明了两个不同三角形中的两个角相等，因此三角形 ABD 与三角形 BCD 相似。根据相似性的定义，这意味着 ${\frac {f}{a}}={\frac {b}{f}}$ 。通过交叉相乘， $ff=ab$ 。这可以改写为 $f^{2}=ab$ 。求解 f，得到 $f={\sqrt {a}}{b}$ 。

为了表明我们构造了这样的三角形，请注意，在我们的构造中，我们使斜边等于 $a+b$ ，并以斜边为直径构造了一个圆。根据泰勒斯定理，圆上任何连接到直径端点的点都会形成一个直角，从而构造出一个满足这些性质的直角三角形。

平方

大量的构造试图构造一个与给定几何图形具有相同面积的正方形。其中一些是不可能的，例如构造等面积的圆形和正方形，但其中许多是可能的，例如矩形和三角形。

矩形平方

问题：给定一个矩形，构造一个面积相等的正方形。

解决方案：为方便起见，我们将矩形记为 ABCD，其中 ${\overline {BC}}{\text{and}}{\overline {AD}}$ 为较长边，而 ${\overline {AB}}{\text{and}}{\overline {CD}}$ 为较短边。

构造 $[D,CD]$ 。令 $E=\langle AD,[D,CD]\rangle$ 为东。构造 ${\overline {AE}}$ 的中点，并将其称为 F。构造 $[F,AE]$ 。延长 ${\overline {CD}}$ 直至与 $[F,AE]$ 相交于点 $G$ 。线段 ${\overline {CG}}$ 是等效正方形的边长。

要构造等效正方形，只需使用该半径创建一个圆，然后构造两条相互垂直的半径。完成此操作后，构造两条与这些半径相切的切线。这样就会形成一个正方形。

三角形平方

这基本上是相同的步骤，只是矩形的组成部分是高度的一半和底边。

圆的切线

问题：给定一个圆和一个不在该圆上的点，构造两条切线。

解法： 设圆心为 $O$ 。设点 $A$ 在圆外。作直线 ${\overleftrightarrow {AO}}$ ，并命名圆上与直线相交的两个点为 $C$ 和 $D$ 。作 $[A,AC]$ 。设 $E=\langle [A,AC],{\overleftrightarrow {AO}}\rangle$ 。现在，作过点 $A$ 的直线 $a$ ，使它垂直于 ${\overleftrightarrow {AO}}$ 。设 $F$ 为 ${\overline {AD}}$ 的中点。作 $[F,FD]$ 。设 $G=\langle [F,FD],a\rangle$ 。

如果你让圆 $[A,AG]$ 与给定圆相交，则两个交点将是两个切点。

证明： 此证明依赖于割线-切线定理，它实际上是割线-割线定理的特例。该定理指出，对于任何位于圆形外部的点，例如图 2 中的点， $(AB)(AC)=(AD)(AE)$ 。当弦线 ${\overline {BC}}$ 逐渐变小时，例如切线的情况， $AB$ 和 $AC$ 之间的差异开始消失， $AB$ 和 $AC$ 变得越来越相似。当这种情况发生时，割线变成切线时，该定理变为 $(AP)^{2}=(AD)(AE)$ 。

如果你观察构建过程，你应该注意到，用于构建几何平均数的方法是相同的，只是对于 ${\overline {AB}}$ 和 ${\overline {AC}}$ 。由于割线-切线定理，具有该长度的线段将正好在切线所在位置与圆形相交。

练习

解决方案可以在此处找到。

低难度

问题 1： 给定三条线段，构造一个三角形。

问题 2： 给定两条线段和它们之间的角，构造一个三角形。

问题 3： 给定一条线段和两个角，构造一个三角形。

问题 4： 给定两个正方形，构造一个面积等于这两个正方形面积之和的第三个正方形。

问题 5： 给定一条直线上的一个点和一个半径，构造一个以该点为切点且半径为给定值的圆形。

中等难度

问题 6： 给定一条直角边和斜边之间的角，构造一个直角三角形。

问题 7： 给定两个正方形，构造一个面积等于这两个正方形面积之差的第三个正方形。

问题 8： 假设你要构造一个平行四边形 ABCD。给你 AB、BC 和 AC。使用给定的线段构造一个平行四边形。

问题 9： 证明，如果直角三角形斜边的垂线将斜边分成一个比例，则该比例等于两条直角边的平方。

问题 10： 将给定的线段分成两条给定线段的平方之比。

问题 11： 给定两条直角边平方的比例，构造一个直角三角形。

高难度

问题 12： 构造两个圆形的内切线并证明该构造有效。

问题 13： 构造两个圆形的外部切线并证明该构造有效。

问题 14： 给定一个三角形，构造一个与给定三角形面积相同的等边三角形。