航空声学/线性声学

介绍

在第波动方程与格林函数[1]章中，我们提到过流体中小幅度声波的运动受波动方程支配。在本节中，我们打算正式证明这一说法。

静止理想流体中的线性声波

我们从流体运动的控制方程开始，即质量守恒（连续性）和动量守恒（纳维-斯托克斯）。

可压缩流体的连续性方程为

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{i})}{\partial x_{i}}}=0$

纳维-斯托克斯方程[2]也由以下给出

$\rho \left[{\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right]={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(-p\delta _{ij}+\tau _{ij})$

其中$\delta _{ij}$是克罗内克德尔塔[3]，而$\tau _{ij}$是偏应力张量。暂时让我们假设我们正在处理静止理想（无粘性）流体的波传播。稍后，我们将扩展我们的分析以考虑运动的粘性流体。进一步假设声波的运动会导致小幅度的波动，使得任何点的瞬时密度、压力和速度分量可以写成

$p=p_{0}+p'$

$\rho =\rho _{0}+\rho '$

$v_{i}=0+v'_{i}$

其中$p_{0}$和$\rho _{0}$分别是平均压力和密度，它们与时间和位置无关。需要注意的是，平均速度被设置为零，因为我们假设流体是静止的。将这些量代入质量和动量守恒定律，并忽略二阶及更高阶的波动项，我们得到

${\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial v'_{i}}{\partial x_{i}}}=0$

和

$\rho _{0}{\frac {\partial v_{i}'}{\partial t}}-{\frac {\partial p'}{\partial x_{i}}}=0$

现在，让我们对线性化动量方程进行空间导数，并从线性化连续性方程的时间导数中减去它，得到

${\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}p'}{\partial x_{i}\partial x_{i}}}=0$.

我们可以从泰勒展开中得到压力波动

$p'=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{s}\rho '+\left({\frac {\partial p}{\partial s}}\right)_{\rho }s'$

由于我们假设流体是无粘的，并且波动幅度很小，所以可以安全地假设声波的运动不会产生熵，并且是一个等熵过程 [4]。因此，

$p'=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{s}\rho '=c_{0}^{2}\rho '$

因此，

${\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}{\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial x_{i}\partial x_{i}}}=0$.

这是我们著名的波动方程。类似的方程也可以用于压力和速度波动。值得注意的是，声扰动的传播速度为

$c_{0}={\sqrt {\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{s}}}$

这就是著名的声速 [5]。

速度势和波动方程

在上一节中，我们得到了一个关于密度波动的波动方程。一个替代的公式可以通过速度势得到 [6]。

对线性化动量（欧拉）方程取旋度，并注意到梯度的旋度为零，我们得到

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla \times v'} \right)=0$

这意味着 **涡度 [7] 随时间保持不变。** 如果我们认为初始涡度为零，则速度向量可以写成任何时刻一个势函数的梯度

$\mathbf {v'} (x,t)=\mathbf {\nabla } \Phi (x,t)$

然后，可以使用线性化的连续性和动量方程来获得

${\frac {\partial ^{2}\Phi (x,t)}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\Phi (x,t)=0$

$p'=-\rho _{0}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}$

$\rho '=p'/c_{0}^{2}$