代数/第 1 章/算术

数轴

代数 第 1 章: 初等算术 第 2 节: 算术运算

小数和分数的运算

1.2: 算术运算

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算术是在数量上执行某些运算的过程。在本节中，我们将介绍四则运算：加法、减法、乘法和除法，以及这些运算之间的关系。

数字组

为了理解涉及数字的运算，我们将首先讨论“运算”的含义以及它们出现的数字组。

在运算中，我们取一个或多个感兴趣的数字，并对它们执行一个过程以获得一个新数字，即该运算的结果。一个由两个数字组成的组可以通过给定的运算组合在一起以产生第三个数字。

四则运算

数学中的四则运算将两个不同的值转换成一个新值。这些包括

加法: +

值的组合。

减法: -

从另一个值中减去一个值。

乘法: ×

重复加法。

除法: ÷

重复减法。

这四种运算通常称为算术运算。它们被认为是所有数学的基础。

加法

定义加法

$\ 1+1=2$

定义数字一是相当困难的任务，但我们都对“一”有一个很好的直觉理解。“一”是具有或想到单个数量的属性。例如，想想你有一美元、一蒲式耳土豆或一光年。从这里我们可以递归地（即与最后一个相关）定义自然数，为我们拥有的每个新的“一”数量分配一个新名称

1	1	一
2	1 + 1	二
3	1 + 1 + 1	三
⋮	⋮	⋮
n	1 + 1 + … + 1	n 个“一”

示例 1.1: 现在我们已经使用数字“一”命名了数字，我们可以将加法定义为计算我们有多少个“一”的过程。 例如， $\ 5+3=(1+1+1+1+1)+(1+1+1)=8$

在上面，注意我们用括号表示数字 5 和 3 作为 1 的重复加法，然后将它们加在一起。因此，加法运算意味着我们将数字组合在一起以得到最终结果。

3 + 2 = 5 用苹果，教科书中流行的选择。

执行加法

加法是数学运算，解释了我们在集合中组合在一起的物体总数。在加法中，被加在一起的数字称为加数或项，最终结果称为和。

示例 1.2: 托尼和亚伦的阿姨来探望。她给了两个男孩每人 25 颗弹珠。托尼在探望期间从亚伦那里赢了 12 颗弹珠。他们玩完后，托尼有多少颗弹珠？ $\ 25+12=37$

加法有几个重要的性质。其中一个性质是，你添加数字的顺序不会影响最终结果。请参考上面苹果的图。就像我们将 3 个苹果添加到 2 个苹果的组中会导致总共 5 个苹果一样，我们将 2 个苹果添加到 3 个苹果的组中也会导致总共 5 个苹果。

加法问题

减法

定义减法

减法 是我们用来描述如何从一个数字中“减去”一个或多个数字的术语。这个术语在两种情况下使用。第一种是回答“少了多少？”的问题，第二种是回答“需要多少？”的问题。

它也可以被定义为计算初始数量的个体，然后从中删除一些数量。

示例 1.3：我们可以将减法定义为计算我们删除了多少个个体的过程。 $\ 5-3=(1+1+1+1+1)-(1+1+1)=2$ 表示 5 个个体删除 3 个个体，留下 2 个个体。

我们要从中减去的那个数字被称为被减数。被减去的数字被称为减数。得到的数字被称为差。

执行减法

减法问题

乘法

乘法 是重复加法的一种简写方式（即一种更快的方式）。例如

示例 1.4：我们可以将乘法定义为重复加法的过程。 $\ 5\cdot 3=15$ 这意味着将 '3' 加 5 次；或将 '5' 加 3 次。 $\ 5\cdot 3=3+3+3+3+3=15$

乘法问题

请注意，在某些地区和情况下，最好使用交叉符号 ($\times$) 或字母 "x" 来代替点。大多数地区使用点而不是交叉符号，因为交叉符号看起来像字母 "x"。

乘法表

乘法表 显示了一组两个数字的乘积。以下是涉及 1 到 12 的数字的乘积。

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

除法

除法 是乘法的逆运算。

示例 1.5：我们可以将除法定义为寻找相等组数的过程。 $\ {\frac {6}{3}}=2$ 此示例询问如果 6 是 1+1+1+1+1+1，而 3 是 1+1+1，那么我们可以将 6 分成多少组 3？答案当然为 2，因为 $\ 6=1+1+1+1+1+1=(1+1+1)+(1+1+1)=3+3$；两组 3。

除法问题

逆运算

逆运算 会撤销之前运算所做的操作，它们是彼此完全相反的。

涉及零的运算

1. 1 + 0 = 1
2. 1 * 0 = 0
3. 0 / 1 = 0
4. 1 / 0 = 未定义

除法是第一个出现问题的运算。在之前定义的所有运算（加法、减法和乘法）中，我们可以对我们选择的任意一对数字执行运算。但是，在除法中，我们不能除以零。在本书的整个过程中，甚至在你在所有数学中的学习过程中，都会对这个事实有很多论述。