代数/算术/数值公理

代数

数值公理

可以以正式的方式定义一组常规的数字。皮亚诺公理定义了一系列被称为自然数的数字。它们如下所示

1. 存在一个整数 0。
2. 每个自然数 a 都有一个后继，记为 a + 1。
3. 不存在后继为 0 的自然数。
4. 不同的自然数具有不同的后继：如果 a <> b，则 a + 1 <> b + 1。
5. 如果一个性质为 0 所拥有，并且也为每个自然数的后继所拥有，那么它就为所有自然数所拥有。

让我们尝试激发这些公理。我们希望这些公理能够消除任何不属于自然数的集合。例如，任何满足上述条件的集合至少应该是无限的。

前两个是自然数（以及我们所知的整数）的明显性质。请注意，有些人更喜欢将 1 作为最小的数字。选择零的原因源于 [集合论]，其中第一个自然数被选为空集 $\emptyset$.

第三个公理防止循环。如果没有这个公理，定义 $0+1=0$ 将会微不足道地满足剩余的公理 - 通过考虑每个剩余的公理来证明这一点！

第四个公理防止部分循环。考虑一个集合 $\{0,1\}$ 并设置 $0+1=1$ 和 $1+1=1$。这个集合满足除第四个公理之外的所有公理 - 自己证明这一点。

第五个公理有时被称为归纳公理。它确保集合是连通的，即我们可以通过对 0 重复使用第二个公理来达到任何数字。一个满足除第五个公理之外所有公理的集合的例子是 $\left\{0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},\dots \right\}$，具有 +1 的通常含义。

由此我们可以推导出存在一系列这样的量

• 0
• 0 + 1
• 0 + 1 + 1
• 0 + 1 + 1 + 1
• 0 + 1 + 1 + 1 + 1
• 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
• 等等

其中“0”是一个常数，也是第一个自然数，“1”是一个常数，它等于两个连续自然数之间的值差。

这个集合足以用于计数。然而，将一个大的自然数表示为“0”后跟所需的大量“+ 1”表达式是不方便的。由于这一点，每个自然数都被赋予一个标签，为了使标签更容易，引入了另一个公理

“0 + 1”等效于“1”。

因此，自然数序列可以为了简洁而这样写

• 0
• 1
• 1 + 1
• 1 + 1 + 1
• 1 + 1 + 1 + 1
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1
• 等等

一旦完成，给每个量赋予自己的标签就变得微不足道。因此，自然数序列可以写成

• 0
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 等等