代数/第 2 章/逻辑与证明

代数

2.6: 逻辑与证明

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构建条件语句的证明

等式的性质

性质名称	加法	减法	乘法	除法
交换律	$a+b=b+a$	不适用 $a-b\neq b-a$ 适用于 $a+(-b)=(-b)+a$	$a*b=b*a$	不适用 $a/b\neq b/a$ 适用于 $a*1/b=1/b*a$
结合律	$(a+b)+c=a+(b+c)$	不适用 $(a-b)-c\neq a-(b-c)$ 适用于 $(a-b)-c=a-(b+c)=a+(-b-c)$	$(a*b)*c=a*(b*c)$	不适用 $(a/b)/c\neq a/(b/c)$ 适用于 $(a/b)/c=a*1/b*1/c=a/b*c$
单位元	$a+0=a$	$a-0=a$	$a*1=a$	$a/1=a$
逆元	$a+-a=0$	$a-a=0$	$a*(1/a)=1$   只要 a ≠ 0.	$a/a=1$   只要 a ≠ 0.
分配律	$a*(b+c)=a*b+a*c$	$a*(b-c)=a*b-a*c$	$a*(b+c)=a*b+a*c$	$(a+b)/c=a/c+b/c$ 但是等等 $a/(b+c)\neq a/b+a/c$

练习题

问题 2.80 (利用数的性质) 利用交换律和结合律证明以下恒等式，并证明每一步。

$a.\ (a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)$
$b.\ (a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)$
$c.\ (a-b)+(c-d)=(a+c)+(-b-c)$
$d.\ (a-b)+(c-d)=(a+d)-(b+c)$
$e.\ (a-b)+(c-d)=(a-d)+(c-b)$
$f.\ (a-b)+(c-d)=-(b+d)+(a+c)$
$g.\ ((a+b)+c)+d=(a+c)+(b+d)$
$h.\ (a-b)-(c-d)=(a-c)+(d-b)$

问题 2.81 (利用数的性质) 判断以下语句是真还是假。说明你的结论。

a. 如果 $a$、$b$ 和 $c$ 是整数，那么数字 $ab+bc$ 是一个偶数。
b. 如果 $b$ 和 $c$ 是奇数，$a$ 是一个整数，那么数字 $ab+bc$ 是一个偶数。

问题 2.82（利用数字的性质） 我们定义一个整数 $a$ 为

• 类型 I 如果 $a=4n$，其中 $n$ 是一个整数
• 类型 II 如果 $a=4n+1$，其中 $n$ 是一个整数
• 类型 III 如果 $a=4n+2$，其中 $n$ 是一个整数
• 类型 IV 如果 $a=4n+3$，其中 $n$ 是一个整数

a. 为上面四种类型的整数各提供至少两个例子。
b. 如果 $a$ 是偶数，那么它属于类型 I 或类型 III 吗？请证明您的答案。
c. 如果 $a*b$ 属于类型 I，只要 $a$ 或 $b$ 属于类型 III 吗？请证明您的答案。

问题 2.83（利用数字的性质） 对于所有实数 $x$ 和正整数 $n$，证明

$(1-x)(1+x+x^{2}+...+x^{n-1}+x^{n})=1-x^{n+1}$