2.4: 实数的性质
我们已经在第一章 中讨论过不同种类的数字。但是，在本节中，我们将使用更复杂的语言来指代它们，并查看每种数字的独特性质。
在数学中，有许多不同种类的数字的名称，你已经遇到过很多这些种类，并且其中一些种类包含其他种类。例如，我们可以从整数开始，例如 0、1、2、3 等。使用减法，我们可以通过从较小的数字中减去较大的数字来构造负数，从而得到集合 {... -3, -2, -1, 0} 中的答案。
使用除法，我们可以通过将较小的数字除以较大的数字来识别 0 和 1 之间的分数，例如 {1/2, 2/3, 3/4, ...} 或 {-1/-2, -2/-3, -3/-4, ....}。我们也可以通过将负数除以正数或正数除以负数来识别 -1 和 0 之间的负分数 {-1/2, -2/3, -3/4, ...} 或 {1/-2, 2/-3, 3/-4, ...}。每个整数都可以写成分数，例如 2 = 2 1 {\displaystyle \textstyle 2={\frac {2}{1}}}
有理数是称为实数的数字的子集。一些计算器允许你通过将有理数表示为分数来区分有理数和实数。如果你使用小数表示法，有理数中的小数可能会无限循环，例如 1 3 = 0.333 … {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}=0.333\ldots } 2 = 1.41421356237 … {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\ldots }
数的种类 实数 包括零 (0)、正负整数 (-3, -1, 2, 4) 以及介于两者之间的所有分数和小数 (0.4, 3.1415927, 1/2)。实数分为有理数和无理数。实数集用 ℝ 表示。
有理数 是可以表示为两个整数的比率（即除法）的数 ( 2 3 {\displaystyle {2 \over 3}} 0.6 {\displaystyle 0.6} 3 {\displaystyle 3} − 4.7 {\displaystyle -4.7} 0. 111 ¯ . . . {\displaystyle 0.{\overline {111}}...} 3.6 {\displaystyle 3.6} 5.263 {\displaystyle 5.263} 1. 333 ¯ . . . . {\displaystyle 1.{\overline {333}}....}
无理数 的小数部分不终止也不循环 ( 2.71828... {\displaystyle 2.71828...} 3.14159... {\displaystyle 3.14159...} 并且 不能表示为分数。例如，数字 2 = 1.41421356... {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356...}
自然数 ，也称为“计数数”，是您学习的第一个数字。自然数包括所有正整数（1、24、6、2、357）。注意，零不包括在内，分数或小数也不包括在内。自然数集用 ℕ 表示。
整数 是自然数加上零。整数集用 𝕎 表示。
整数 是所有没有小数部分的正数和负数（3、-1、15、-42）。整数集用 ℤ 表示。
我们从回顾算术的基本性质开始。给下面列出的几个性质如此多的强调可能看起来不寻常，但有一个很好的理由。粗略地说，所有代数都遵循下面表格中列出的 5 个性质 。在下面的表格中，a 、b 和 c 可以是任何数字，除非另有说明。所以让我们来看看
性质名称
加法
减法
乘法
除法
交换律
a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} 不适用 a − b ≠ b − a {\displaystyle a-b\neq b-a} a + ( − b ) = ( − b ) + a {\displaystyle a+(-b)=(-b)+a}
a ∗ b = b ∗ a {\displaystyle a*b=b*a} 不适用 a / b ≠ b / a {\displaystyle a/b\neq b/a} a ∗ 1 / b = 1 / b ∗ a {\displaystyle a*1/b=1/b*a}
结合律
( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} 不适用 ( a − b ) − c ≠ a − ( b − c ) {\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c)} ( a − b ) − c = a − ( b + c ) = a + ( − b − c ) {\displaystyle (a-b)-c=a-(b+c)=a+(-b-c)}
( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) {\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)} 不适用 ( a / b ) / c ≠ a / ( b / c ) {\displaystyle (a/b)/c\neq a/(b/c)} ( a / b ) / c = a ∗ 1 / b ∗ 1 / c = a / b ∗ c {\displaystyle (a/b)/c=a*1/b*1/c=a/b*c}
单位元
a + 0 = a {\displaystyle a+0=a} a − 0 = a {\displaystyle a-0=a} a ∗ 1 = a {\displaystyle a*1=a} a / 1 = a {\displaystyle a/1=a}
逆元
a + − a = 0 {\displaystyle a+-a=0} a − a = 0 {\displaystyle a-a=0} a ∗ ( 1 / a ) = 1 {\displaystyle a*(1/a)=1} a / a = 1 {\displaystyle a/a=1}
分配律
a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c} a ∗ ( b − c ) = a ∗ b − a ∗ c {\displaystyle a*(b-c)=a*b-a*c} a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c} ( a + b ) / c = a / c + b / c {\displaystyle (a+b)/c=a/c+b/c} a / ( b + c ) ≠ a / b + a / c {\displaystyle a/(b+c)\neq a/b+a/c}
我们用 a = 7，b = 1 和 c = 1 来应用分配律。
7 · 1 + 7 · 1 = 7 + 7 虽然这看起来很明显，但这是上面提到的乘法的**单位元律**。现在让我们尝试用 7 · 3 做同样的事情。
7 · 3 = 7 · (1 + 1 + 1) 和之前一样，这只是 3 = 1 + 1 + 1 以及替换的结果。
7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1 我们再次应用分配律。注意，我们可以将其应用于括号中包含两个以上数字的加法表达式。证明如下。虽然 7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1 不仅由分配律涵盖，但这个问题可以通过用括号将最后两个 1 分组来解决。与其写成 7 · (1 + 1 + 1)，不如写成 7 · (1 + (1 + 1))，然后用 a = 7，b = 1 和 c = (1 + 1) 来使用分配律。然后：7 · (1 + (1 + 1)) = 7 · 1 + 7 · (1 + 1)。现在我们只对第二项应用分配律（取 a = 7，b = 1 和 c = 1）。然后（只看第二项）我们有 7 · (1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1。最后，我们可以将此表达式替换回方程的第二项，得到：7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1。
这看起来像是很多无脑的括号操作，但关键是分配律适用于任意长的和和积。同样也适用于
a · (b + c + d + e ) = a · b + a · c + a · d + a · e 或者我们可以把它写得更长！我们可以使求和中有任意多个项；只要在右侧的每一项之前都有“a · ”，这个等式就成立。我们将在没有证明的情况下使用这个结论（即不证明它）。让我们回顾一下这些性质告诉我们关于算术的什么知识。交换律和结合律一起表明，我们加东西的顺序并不重要。让我们看看原因。结合律告诉我们a + (b + c ) = (a + b ) + c a + b + c 的陈述。为什么呢？因为通常加法只定义在两个东西之间，所以当有人写下像a + b + c b 和c 加起来，然后再加上a ，而另一些人可能首先将a 和b 加起来，然后再加上c 。这个性质（使用公式）表明，无论你用哪种方法都没关系。那些先将a 和c 加起来的人呢？这正是交换律发挥作用的地方。它告诉我们，我们不必按照人们写下的顺序来加东西。你可以交换顺序，仍然得到相同的答案。让我们再举一个使用这些性质来“调整括号”的例子，看看交换律是如何说你真的可以先将a 和c 加起来并得到相同答案的。
b + c = c + b 这是将加法的交换律应用于b + c
a + (b + c ) = a + (c + b )这是由替换得到的
a + (b + c ) = (a + c ) + b 这仅仅是将结合律应用于上面等式的右边。
交换律和结合律告诉你，加a + b + c
乘法的相同性质告诉我们，乘东西的顺序并不重要。我们可以随意改变顺序，以使运算更容易。它真的可以使事情更容易吗？当然！例如，如果你被要求计算 4 · 3 · 5 · (1/4)，那么我个人认为计算 4 · (1/4) · 3 · 5 会更容易
单位 和逆 性质真正捕捉到“加法和减法是相反的”以及“乘法和除法是相反的，只要我们不乘以零”的含义。我们将在练习中留给感兴趣的读者思考为什么会这样。
你通常可以使用分配律来简化表达式。这是它如此重要的原因之一。例如，考虑表达式2(x − 7) + 14 。如果我们在该表达式的第一项上使用分配律会发生什么？让我们算一下。根据分配律
2(x − 7) = 2x − 2 · 7 = 2x − 14 将此代入上面的表达式，我们得到2(x − 7) + 14 = 2x − 14 + 14 = 2x 。显然，2x 比2(x − 7) + 14 更容易计算！
除法不满足交换律。这意味着通常 a ÷ b 不等于 b ÷ a，并且可以通过简单的例子来证明。
1 2 ≠ 2 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\neq {\frac {2}{1}}}
虽然除法本身不满足交换律，但确实 存在两种特殊情况，在这种情况下，如果颠倒运算顺序，答案（商）相同。当答案（商）为 1 或当答案为 -1 时，就会出现这些情况
a ÷ b = b ÷ a ⟺ (rewrite as fractions) {\displaystyle a\div b=b\div a\iff {\mbox{(rewrite as fractions)}}}
a b = b a ⟺ (multiply both sides by a b ) {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b}{a}}\iff {\mbox{(multiply both sides by}}\ ab)}
a 2 = b 2 ⟺ (take both square roots) {\displaystyle a^{2}=b^{2}\iff {\mbox{(take both square roots)}}}
a = b 2 or a = − b 2 {\displaystyle a={\sqrt {b^{2}}}\quad {\mbox{ or }}\quad a=-{\sqrt {b^{2}}}}
a = b or a = − b {\displaystyle a=b\quad {\mbox{ or }}\quad a=-b}
a ÷ b = 1 or a ÷ b = − 1 {\displaystyle a\div b=1\quad {\mbox{ or }}\quad a\div b=-1}
代数中有一些基本定律。理解这些定律将帮助你操纵和解方程，并理解代数关系。
一般来说，项目顺序可以改变，而不会影响结果。
对于加法， A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A}
对于乘法， X Y = Y X {\displaystyle XY=YX}
请注意，交换律不适用于减法或除法。
一般来说，改变项的组合方式不会影响结果。（这似乎是交换律的扩展）。
对于加法， A + ( B + C ) = ( A + B ) + C {\displaystyle A+(B+C)=(A+B)+C}
对于乘法， X ( Y Z ) = ( X Y ) Z {\displaystyle X(YZ)=(XY)Z}
与交换律一样，结合律不适用于减法或除法。
表明可以将公因数分解出来，或者将因子分配出去。(A + B) X = (A X) + (B X) （右边“X”项组合成左边的一个因子；左边“X”因子分配到右边）。
考虑将X = (Y + Z) 代入上述方程式，得到 (A + B) (Y + Z) = A (Y + Z) + B (Y + Z) 。将分配律应用于右边每一项得到 A Y + A Z + B Y + B Z 。如果我们乘以以下表达式中标有“F O I L”的项，我们可以跳过中间步骤 (A + B) (Y + Z) =
字母
描述
项
F
首项
A Y +
O
外项
A Z +
I
内项
B Y +
L
末项
B Z
对于加法和减法 ，恒等律表明，对给定项或数量进行加 和减 运算，结果为零，0，它是加法和减法的恒等元。或者，加上恒等元不会改变原始值或数量。
A − A = 0 {\displaystyle A-A=0}
在第一个方程的两边都加上 A，我们得到 (A - A) + A = 0 + A 。重新排列或代入得到 0 + A = A
请注意A = A + 0 = A + 0 + 0 的特殊情况。 对于乘法和除法 ，恒等律表明，对给定项或数量进行乘 和除 运算，结果为“一”，1，它是乘法和除法的恒等元。或者，用恒等元乘或除不会改变原始值或数量。
1 = Y Y {\displaystyle 1={\frac {Y}{Y}}} 1 = ( Y 1 ) ( 1 Y ) {\displaystyle 1=({\frac {Y}{1}})({\frac {1}{Y}})}
请注意，用 1 除以一个项或数量，得到该项或数量的倒数。用倒数乘等于用该项或数量除。在上面的右边方程中，(Y / 1) 和 (1 / Y) 互为倒数。
请注意 1 = 1 1 {\displaystyle 1={\frac {1}{1}}} 1 ( 1 ) = ( 1 ) ( 1 1 ) {\displaystyle 1(1)=(1)({\frac {1}{1}})} 1 ( 1 ) 1 = ( 1 ) ( 1 1 ) = {\displaystyle {\frac {1(1)}{1}}=(1)({\frac {1}{1}})=}
通过将第一个特殊情况方程式代入，简化为 1 = 1 ( 1 ) {\displaystyle 1=1(1)} 1 = 1 ( 1 ) ( 1 ) {\displaystyle 1=1(1)(1)} . . . 将第一个方程的两边乘以“Y” ，得到 ( Y ) ( 1 ) = ( Y ) ( Y Y ) {\displaystyle (Y)(1)=(Y)({\frac {Y}{Y}})} (Y) = (1) Y.
问题 2.54 （确定实数的性质）反例 .
a . A n i n t e g e r i s a w h o l e n u m b e r . {\displaystyle a.\ An\ integer\ is\ a\ whole\ number.} b . I f a n u m b e r i s w h o l e i t i s a n a t u r a l n u m b e r . {\displaystyle b.\ If\ a\ number\ is\ whole\ it\ is\ a\ natural\ number.} c . I f a n u m b e r c o n t a i n s a d e c i m a l i t i s a n i n t e g e r . {\displaystyle c.\ If\ a\ number\ contains\ a\ decimal\ it\ is\ an\ integer.} d . I f a n u m b e r i s n a u t u r a l , t h e n i t i s a r e a l n u m b e r . {\displaystyle d.\ If\ a\ number\ is\ nautural,\ then\ it\ is\ a\ real\ number.} e . T h e p r o d u c t o f t w o i r r a t i o n a l n u m b e r s i s a n i r r a t i o n a l n u m b e r . {\displaystyle e.\ The\ product\ of\ two\ irrational\ numbers\ is\ an\ irrational\ number.}
问题 52 的可能的答案
a. 有时为真。数字
-1 是一个整数，但它不是一个整数。
b. 有时为真。数字0 是一个整数，但它不是一个自然数。c. 从不为真。整数包括所有负数和非分数的整数。d. 总是为真。实数集部分包括自然数。
e. 有时为真。
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} 的积等于 1。
a. 有时为真。数字
-1 是一个整数，但它不是一个整数。
b. 有时为真。数字0 是一个整数，但它不是一个自然数。c. 从不为真。整数包括所有负数和非分数的整数。d. 总是为真。实数集部分包括自然数。
e. 有时为真。
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} 的积等于 1。
问题 2.55 （识别实数的性质）
a . 4 ( 3 x + 4 ) = 12 x + 16 {\displaystyle a.\ 4(3x+4)=12x+16} b . 6 + 0 = 6 {\displaystyle b.\ 6+0=6} c . ( 2 + 7 ) + 5 = ( 2 + 5 ) + 7 {\displaystyle c.\ (2+7)+5=(2+5)+7} d . ( 3 / 4 ) ( 4 / 3 ) = 1 {\displaystyle d.\ (3/4)(4/3)=1} e . T o d i v i d e 3072 b y 512 , y o u c a n d i v i d e 3072 b y 16 , a g a i n b y 8 , a n d a g a i n b y 4. {\displaystyle e.\ To\ divide\ 3072\ by\ 512,\ you\ can\ divide\ 3072\ by\ 16,\ again\ by\ 8,\ and\ again\ by\ 4.}
第 53 题答案
a. 分配律
b. 加法恒等式
e. 乘法结合律
a. 分配律
b. 加法恒等式
e. 乘法结合律
问题 2.56 (乘积模式)
2 ∗ 2 = 1 ∗ 4 {\displaystyle 2*2=1*4}
4 ∗ 3 = 2 ∗ 6 {\displaystyle 4*3=2*6}
6 ∗ 4 = 3 ∗ 8 {\displaystyle 6*4=3*8}
8 ∗ 5 = 4 ∗ 10 {\displaystyle 8*5=4*10}
10 ∗ 6 = 5 ∗ 12 {\displaystyle 10*6=5*12}
12 ∗ 7 = 6 ∗ 14 {\displaystyle 12*7=6*14}
14 ∗ 8 = 7 ∗ 16 {\displaystyle 14*8=7*16}
问题 2.57 (高斯定理)
问题 2.58 (操纵高斯定理)问题 2.55 中使用的技术来找到几个数字的总和。你能找到以下内容吗？
a. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 201 {\displaystyle 1+2+3+4+...+201} b. 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 200 {\displaystyle 2+4+6+8+...+200} c. 101 + 102 + 103 + . . . + 998 + 999 + 1000 {\displaystyle 101+102+103+...+998+999+1000} d. 9 + 12 + 15 + . . . + 54 + 57 + 60 {\displaystyle 9+12+15+...+54+57+60}
问题 2.59 (数字的逆元)加法逆元 相加，你将得到零。同样，乘法逆元性质指出，如果你将一个数字与其倒数或其乘法逆元 相乘，你将得到一。找到以下数字的加法逆元和乘法逆元。
a . − 6 {\displaystyle a.\ -6} b . 4 2 3 {\displaystyle b.\ 4{\frac {2}{3}}} c . − 0.33 {\displaystyle c.\ -0.33} d . 2 + 5 {\displaystyle d.\ 2+{\sqrt {5}}}
问题 2.60 （使用分配律）
a . 2 ( 14 x − 26 ) {\displaystyle a.\ 2(14x-26)} b . ( 2 / 3 ) ( 3 x + 9 ) {\displaystyle b.\ (2/3)(3x+9)} c . 3 ( 12 x + 4 y ) {\displaystyle c.\ 3(12x+4y)} d . 2 ( 5 x − 6 ) + 3 ( 3 x + 2 ) {\displaystyle d.\ 2(5x-6)+3(3x+2)} e . ( 4 x + 7 ) ( 2 x − 3 ) {\displaystyle e.\ (4x+7)(2x-3)} f . ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) {\displaystyle f.\ (x+1)(x+2)(x+3)}
问题 2.61 （三项式分配律）
( 5 x + 2 y − 4 ) ( 2 x + 7 y + 3 ) {\displaystyle (5x+2y-4)(2x+7y+3)}
问题 2.62 （改写表达式）
2013 ∗ 2014 − 2013 ∗ 1992 2014 − 1992 {\displaystyle {\frac {2013*2014-2013*1992}{2014-1992}}}
问题 2.63 （乘法和分配律）
问题 2.64 （和/差的平方） a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
a . ( a + b ) 2 {\displaystyle a.\ (a+b)^{2}} b . ( a − b ) 2 {\displaystyle b.\ (a-b)^{2}}
问题 2.65 （棘手的乘积）
a . ( 101 ) 2 {\displaystyle a.\ (101)^{2}} b . ( 95 ) 2 {\displaystyle b.\ (95)^{2}} c . ( 998 ) ( 999 ) {\displaystyle c.\ (998)(999)} d . ( 63 ) ( 57 ) {\displaystyle d.\ (63)(57)} e . ( 71 ) 2 {\displaystyle e.\ (71)^{2}}
问题 63 的答案
a. 10201
b. 9025
e. 5041
a. 10201
b. 9025
e. 5041
问题 2.66 （1001 的秘密）
问题 2.67 （ABCD） a − d {\displaystyle a-d} b + c {\displaystyle b+c}
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
问题 64 的解答
从以下开始
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
将以上重新写成以下形式
a b + ( − c d ) + a c + ( − b d ) {\displaystyle ab+(-cd)+ac+(-bd)}
根据加法的交换律，该表达式可以改写成
a b + a c + ( − c d ) + ( − b d ) {\displaystyle ab+ac+(-cd)+(-bd)} a ( b + c ) − d ( c + b ) {\displaystyle a(b+c)-d(c+b)} a ( b + c ) − d ( b + c ) {\displaystyle a(b+c)-d(b+c)}
根据分配律，可以进一步改写为
( a − d ) ( b + c ) {\displaystyle (a-d)(b+c)} 从以下开始
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
将以上重新写成以下形式
a b + ( − c d ) + a c + ( − b d ) {\displaystyle ab+(-cd)+ac+(-bd)}
根据加法的交换律，该表达式可以改写成
a b + a c + ( − c d ) + ( − b d ) {\displaystyle ab+ac+(-cd)+(-bd)} a ( b + c ) − d ( c + b ) {\displaystyle a(b+c)-d(c+b)} a ( b + c ) − d ( b + c ) {\displaystyle a(b+c)-d(b+c)}
根据分配律，可以进一步改写为
( a − d ) ( b + c ) {\displaystyle (a-d)(b+c)} 问题 2.68 （实数的稠密性）
问题 60 的解答
让我们选择一个介于 0 和 1 之间的数字，在本例中是
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。然后我们可以选择一个介于 0 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 之间的数字，
1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} ，以及一个介于
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 和 1 之间的数字，
3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} 。我们可以继续这样做，我们总能找到我们选择的任意两个数字之间的数字。因此，0 和 1 之间有无限多个实数。
让我们选择一个介于 0 和 1 之间的数字，在本例中是
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。然后我们可以选择一个介于 0 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 之间的数字，
1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} ，以及一个介于
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 和 1 之间的数字，
3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} 。我们可以继续这样做，我们总能找到我们选择的任意两个数字之间的数字。因此，0 和 1 之间有无限多个实数。
封闭性 是为一组实数和一个运算定义的一个性质。这篇文章 维基百科文章 给出了封闭性属性的描述，以及来自数学各个领域的示例。作为一个代数学生，了解封闭性属性可以帮助你解决问题。例如，一个问题可能说“两个整数的和是 24”。随着练习，你将能够看到可能的数字集将是全部奇数（例如 (1,23),(3,21), ... 等等）或全部偶数（例如 (2,22), (4,20), ... 等等）。该问题可能没有明确说明整数的概念。它可能说明一个正方形的两个边之和为 24。如果你记得之前做过类似的问题，你就知道正方形的边需要相等，你需要除以 2。问题的作者可能想更难一些，说一个等边三角形的两边之和为 24，然后问三角形的周长。在这种情况下，你可能想写出等式 3 x = p {\displaystyle 3x=p}
问题 2.69 （运算的封闭性）
加法
减法
乘法
除法
指数
根
ℕ
𝕎
ℤ
ℚ
𝕀
ℝ
问题 2.70 （集合的封闭性） { a , b , c , d , e } {\displaystyle \{a,b,c,d,e\}}
*
a
b
c
d
e
a b
c
e
a
d
b d
a
c
b
e
c c
d
b
e
a
d a
e
d
c
b
e e
b
a
d
c
该集合在乘法下是否封闭？
实数 a {\displaystyle a} 绝对值 （或模数 ），用 | a | {\displaystyle |a|} 始终取为非负数 。例如，左侧的图示显示了以下内容
| − 5 | = 5 | 3 | = 3 {\displaystyle |-5|=5\ |3|=3} -5 的绝对值为 5，因为它距离零点 5 个单位，而 3 的绝对值为 3，因为它距离零点 3 个单位。正数或零的绝对值始终是其本身。相反，负数的绝对值是其相反数。
同样，数轴上两个数字之间的距离可以看作它们之差的绝对值。
问题 2.71 （排序数字 I）
2.1 , − 4 , 1 2 , π , 3.99 , − 3 4 , − 0.25 , π 3 {\displaystyle 2.1,-4,\ {\frac {1}{2}},\ \pi ,\ 3.99,\ -{\frac {3}{4}},\ -0.25,\ {\frac {\pi }{3}}} 问题 69 的答案
a . − 4 , − 3 4 , − 1 2 , − 0.25 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 {\displaystyle a.\ -4,-{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{2}},-0.25,{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99} b . 3.99 , π , 2.1 , π 3 , − 0.25 , − 1 2 , − 3 4 , − 4 {\displaystyle b.\ 3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},-0.25,-{\frac {1}{2}},-{\frac {3}{4}},-4} a . − 4 , − 3 4 , − 1 2 , − 0.25 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 {\displaystyle a.\ -4,-{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{2}},-0.25,{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99} b . 3.99 , π , 2.1 , π 3 , − 0.25 , − 1 2 , − 3 4 , − 4 {\displaystyle b.\ 3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},-0.25,-{\frac {1}{2}},-{\frac {3}{4}},-4} 问题 2.72 （数字排序 II）
问题 70 的答案
a . 0.25 , 1 2 , 3 4 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 , 4 {\displaystyle a.\ 0.25,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99,4} b . 4 , 3.99 , π , 2.1 , π 3 , 3 4 , 1 2 , 0.25 {\displaystyle b.\ 4,3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{2}},0.25} a . 0.25 , 1 2 , 3 4 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 , 4 {\displaystyle a.\ 0.25,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99,4} b . 4 , 3.99 , π , 2.1 , π 3 , 3 4 , 1 2 , 0.25 {\displaystyle b.\ 4,3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{2}},0.25} 问题 2.73 （绝对值表达式）
a . | − 88 | {\displaystyle a.\ |-88|} b . | 3 − 16 | {\displaystyle b.\ |3-16|} c . | − 14 | + | 3 | {\displaystyle c.\ |-14|+|3|} d . | | − 5 | − 3 | {\displaystyle d.\ ||-5|-3|} e . | 1 − 3 | + | 2 − 2 | − | 3 − 2 | {\displaystyle e.\ |1-{\sqrt {3}}|+|2-{\sqrt {2}}|-|{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}|}
f . 3 − 2 | 2 − 10 | + 11 {\displaystyle f.\ 3-2|2-10|+11} g . | − ( − 5 ) | − | 3 | − 3 {\displaystyle g.\ {\frac {|-(-5)|-|3|}{-3}}} h . 2 | 3 ∗ 2 2 − 1 | − 10 | − 2 | 6 {\displaystyle h.\ {\frac {2|3*2^{2}-1|-10|-2|}{6}}} i . ( 5 − 6 ) 2 − 2 | 3 − 7 | 89 − 3 ∗ 5 2 {\displaystyle i.\ {\frac {(5-6)^{2}-2|3-7|}{89-3*5^{2}}}}
问题 71 的答案
a. 88
b. 13 − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
i.
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} a. 88
b. 13 − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
i.
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} 问题 2.74 (绝对值比率) x < 0. {\displaystyle x<0.}
| x | x {\displaystyle {\frac {|x|}{x}}} 问题 2.75 (值的范围 I) 24 < x < 39 {\displaystyle 24<x<39}
| x − 24 | + | x − 39 | {\displaystyle |x-24|+|x-39|} 问题 2.76 (值的范围 II) − 12 ≤ x < 12 {\displaystyle -12\leq x<12}
| x − 14 | + | x − 12 | + | x + 12 | + | x + 14 | {\displaystyle |x-14|+|x-12|+|x+12|+|x+14|} 问题 2.77 (值的范围 III) − 19 ≤ x ≤ y ≤ 4 {\displaystyle -19\leq x\leq y\leq 4}
| x + 19 | + | x − y | + | y − 4 | {\displaystyle |x+19|+|x-y|+|y-4|} 问题 2.78 (最小可能的绝对值)n 是一个整数，则以下表达式的最小可能值是多少？
| 123 − 5 n | {\displaystyle |123-5n|} 问题 2.79 (三角形不等式)
| a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|} a. 使用此关系式确定边长为 6、9 和 14 的三角形是否存在。b. 使用此关系式确定边长为 5、10 和 15 的三角形是否存在。c. 除了几何应用之外，上述不等式还表明，两个数 a 和 b 之和的绝对值小于或等于 a 的绝对值与 b 的绝对值之和。证明此关系式成立。
我们将在大部份代数学习中使用的所有数字称为实数。实数包含有理数和无理数。无理数是指小数部分无限不循环的数字，例如圆周率。有理数是指所有可以表示为整数分数的数字，包括自然数、整数、负数、零和分数。对于所有实数，加法和乘法都具有一些特性：交换律、结合律、单位元、逆元和分配律。分配律在课程的其余部分将非常有用。
