代数/第 4 章/复合和绝对值不等式

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代数/第 4 章
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复合不等式 是两个作为同一个问题呈现的不等式。根据使用“和”还是“或”来决定所求解的变量是否只需要满足其中一个不等式，或者两个都要满足。可能会有很多正确答案，甚至根本没有答案。

示例：2x - 4 > 2 或 30/x > 15

然后可以将答案绘制成数轴上的两条射线。

如果我们对实数解感兴趣，我们可以选择略小于 2 或略大于 3 的数字，这样方程将成立。例如，如果 x = 1.99，则 30/x = 15.08（满足 30/x > 15），或者如果 x = 3.01，则 2x-4 = 2.02（满足 2x -4 > 2）。

如果我们只对整数解感兴趣，那么我们可以看到除了 2 或 3 之外的所有整数都将成立。

我们还可以将复合不等式表示为一个函数。

如果我们指定一个函数 f(x) = (x > 3 或 x < 2)，我们会得到一个像这样的图形

解仍然是两条射线。但现在射线位于 y=x 线上，一条射线从数字 3 向右向上移动，另一条射线从数字 2 向左向下移动。

练习：使用斜率的概念，你能解释为什么从数轴转移到笛卡尔坐标系上的图形总是显示在 y=x 线上吗？

我如何使用复合不等式？

汽车上的燃油经济性标签给出了两个数字：一个用于城市驾驶，另一个用于高速公路驾驶。如果标签说汽车在城市中每加仑行驶 25 英里，在高速公路上每加仑行驶 32 英里，那么你能开多远？

为了找出这一点，我需要知道我的油箱里有多少汽油。我知道我可以使用一加仑汽油行驶 25 到 32 英里。我可以使用两个方程式来表示这一点，其中 x = 我可以用一加仑汽油行驶的距离

25 < x 并且 x < 32。

或者我可以将它们组合成一个复合不等式

25 < x < 32。

如果我的油箱是 10 加仑，并且我想知道我能开多远，我会通过将复合不等式中的每一项乘以 10 来更改方程式以表示我油箱中的 10 加仑汽油。

25 * 10 < 10*x < 32 * 10。

250 < 10x < 320。

我可以用一箱汽油行驶 250 到 320 英里。

摄氏度到华氏度的转换公式是 5/9(F - 32)。

我们知道水在 32 华氏度结冰，在 212 华氏度沸腾。

如果我们想知道水的冰点和沸点在摄氏度是多少，我们可以将方程式设置为如下

32 < F < 212

然后将公式应用于将华氏度转换为摄氏度。

5/9(32-32) < C < 5/9(212 - 32)

因此水的冰点和沸点为

0 < C < 100

当我们需要乘以 x 时会发生什么？

记住，减法相当于加负数，乘法相当于加一个数多次。因此，当我们多次加负数时，结果会越来越小。在使用不等式解决问题时，我们需要确定问题的上下文对于负数是否有意义。

一种特殊的复合不等式涉及绝对值符号。绝对值符号指定了两个函数，使得 f(x)=A 意味着 f(-x) = (-A)(-1)。对于等号，这与 f(x)=f(-x)=A 相同。但是，当我们使用不等号并乘以负数时，我们必须改变符号的方向。因此，如果 f(x) > A，则 f(-x) < A。

当只有 x 的值在绝对值符号中时，这很简单。例如，给定 |x| > 12，则可能的解是 x > 12 或 x < -12。

三个绝对值问题的例子。
右边是正数	右边是零	右边是负数
$\|x\|-12>0$	$\|x\|+12>12$	$\|x\|+12>0$
$\|x\|>12$	$\|x\|>0$	$\|x\|>-12$
$x>12{\text{ or }}x<-12$	$x>0{\text{ or }}x<0$	${\text{all numbers }}x{\text{ satisfy }}\|x\|>-12$
12 和 -12 之间的间隔。	除了 0 之外的任何数字。	任何数字。