代数/方程组

代数

联立方程组

在之前的章节中，我们已经讨论了在单个方程中求解单个未知数。然而，在某些情况下，在一个以上方程中可能出现多个未知变量。当在给定问题中，多个代数方程同时成立时，我们称之为联立方程组，这些方程同时成立。这样的多个方程组可以帮助我们解决问题中多个未知变量，因为在单个方程中包含多个未知数通常不足以“求解”任何一个未知数。

未知量是指需要代数信息才能求解的量。包含未知量的方程通常是提供信息以“求解”未知量的信息，即确定未知量等于的特定数值（或有限个离散值）。有些方程提供的信息很少或没有，因此对缩小未知量的解的可能性几乎没有帮助。其他方程使得未知量无法满足任何实数，因此未知量的解集为空集。许多其他有用的方程使得能够用一个或几个离散解来求解未知量。对于联立方程组，特别是关于它们之间关系的陈述，也可以做出类似的说明。

二元一次联立方程

在之前的模块中，我们讨论了二元一次方程。单个包含两个未知变量的线性方程实际上不足以求解或缩小两个变量的解，尽管它确实建立了它们之间的关系。这种关系在图形上显示为一条直线。另一个包含相同两个变量的线性方程可能足以将两个方程的解缩小到第一个变量的一个值和第二个变量的一个值，即求解两个二元一次联立方程。让我们看看包含相同两个未知数的两个线性方程如何相互关联。由于我们说过给定这两个方程都是线性的，因此这两个方程的图形将是同一二维坐标平面中的直线（对于包含两个变量的系统）。这两条直线可以通过以下三种方式相互关联

1. 两个方程的图形可以重合，形成同一条直线。这意味着两个方程提供了关于变量之间关系的相同信息。这两个方程本质上是相同的，可能只是彼此的不同版本或形式。其中任何一个都可以通过数学运算得到另一个。这两条直线具有相同的斜率和相同的 y 轴截距。这样的方程被认为是相互依赖的。由于没有提供新信息，添加第二个方程不会通过将解集缩小到一个解来解决问题。

示例：相互依赖的线性方程

$6x-3y=12\$

$y=2x-4\$

以上两个方程提供相同的信息，结果是相同的图形，即重合的直线，如以下图像所示。

让我们看看如何通过数学运算来证明这两个方程本质上是相同的。

将第一个方程$6x-3y=12\$两边除以 3，得到

$2x-y=4\$

现在在两边加上 y

$2x=4+y\$

现在从两边减去 4

$y=2x-4\$

这与示例中的第二个方程相同。这是方程的斜截式，从中可以比较该直线独有的斜率和 y 轴截距，以及斜截式中的任何其他方程。

2. 两条直线的图形可以平行，但不是同一条直线。这两条直线在任何点都不相交。这意味着没有解能同时满足这两个方程，即同时成立。这个二元一次联立方程组的解集为空集。这样的方程被认为是不一致的，如果声称它们在同一个问题中同时成立，实际上会给出矛盾的信息。平行线具有相同的斜率，但不同的 y 轴截距。

具有至少一个公共点（可能提供解集）的方程组是一致的。例如，前面提到的相互依赖的方程是相互一致的。

示例：不一致的线性方程

$3x-2y=-2\$

$3x-2y=2\$

为了比较这两个线性方程的斜率和 y 轴截距，我们将它们写成斜截式。在两个方程的两边都减去 3x。

$3x-2y=-2\qquad \qquad 3x-2y=2$ $-2y=-3x-2\qquad \qquad -2y=-3x+2$

将两个方程的两边都除以 -2 并简化，得到斜截式形式以进行比较。

$(-2y)/(-2)=(-3x-2)/(-2)\qquad (-2y)/(-2)=(-3x+2)/(-2)$

$y={\frac {3}{2}}x+1\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad y={\frac {3}{2}}x-1$

现在，两个斜率都等于 3/2，但 y 轴截距分别为 1 和 -1。
这两条直线是平行的。这里显示了图形

3. 如果两条直线不同且不平行，那么它们会在一个点相交，因为它们是在同一个二维坐标系中绘制的。交点是一个有序数对，它是两个线性方程组的解。两个方程提供了足够的信息来解决问题，不需要额外的方程。这样的方程在一点相交，提供问题的解，被认为是彼此独立的。这些直线有不同的斜率，但 y 轴截距可能相同也可能不同。因为这样的方程至少提供了一个解点，所以它们彼此一致。

例子：一致独立线性方程

$y=3x-5\$

$y=-x-1\$

这两个方程都是用斜截式给出的，所以很容易比较斜率和 y 轴截距。对于这两个线性函数，斜率不同，y 轴截距也不同。这意味着这两条直线既不相关也不不一致，所以在二维图上它们必须在某一点相交。事实上，该图显示这两条直线在 (1,-2) 点相交，这是该独立联立方程组的解的有序数对。不能依赖图形的目视检查来每次都给出完全准确的坐标，因此要么用两个方程来检验该点，要么使用以下两种方法之一来确定交点的准确坐标。

求解线性联立方程

这里介绍了两种求解线性方程组的方法，加减法和代入法。示例将展示如何使用这些方法来求解两个独立的线性联立方程，这两个方程有两个未知变量，求解两个未知变量。

加减消元法

加减消元法通常简称为加减法。使用加减法，将一个方程加到（或减去）另一个方程，通常是在将整个方程乘以一个常数之后，以消去一个未知数。如果方程是独立的，那么得到的方程应该是一个未知数少一个的方程。对于一个原始的包含两个方程和两个未知数的方程组，得到的未知数少一个的方程将只剩下一个未知数，可以很容易地求解。对于包含两个以上方程和两个以上未知数的方程组，加减消元的过程一直持续到得到一个包含一个未知数的方程。然后可以求解这个未知数，并将求解的值代入其他方程，得到一个未知数少一个的方程组。重复加减消元过程，直到所有未知数都被求解。

如果一个方程组包含两个相关的方程，那么将两个方程相加可能会或将会同时消去两个未知数。如果这些方程是平行的直线，即不一致的，那么可能会得到一个矛盾的方程。加减法对于求解联立线性方程组很有用，特别是如果这些方程是用 Ax + By = C 的形式给出的，其中 x 和 y 是两个未知变量，A、B 和 C 是常数。

例子：使用加减法求解以下包含两个未知数 x 和 y 的方程组

$x+2y=4\$

$3x-y=5\$

解：我们可以将第一个方程乘以 -3，并将结果加到第二个方程，以消去 x；或者我们可以将第二个方程乘以 2，并将结果加到第一个方程，以消去 y。让我们将[第二个方程的]两边都乘以 2。

$2\cdot (3x-y)=2\cdot 5$

$2\cdot 3x-2\cdot y=10$

$6x\ -2y=10\$

现在我们加上这个结果方程到第一个方程； 也就是说，两个方程的两边分别加起来，得到一个组合方程，如下所示

$x\ +\ 2y=4\$

$+\ (6x-2y=10)\$

_____________________

$7x+0\cdot y=14\$

这意味着我们将 x + 2y 和 6x – 2y 相加得到 7x + 0·y，并且我们将 4 和 10 相加得到 14。

这消去了组合方程中的 y，得到一个只有 x 的方程

$7x=14\$

现在我们求解 x

$x=14/7=2\$

现在我们有了 x，我们可以将 x 的值代入两个原始方程中的任何一个，然后求解 y。让我们选择第一个方程来代入 x。

$2+2y=4\$

求解 y

$2y=4-2=2\$

$y=2/2=1\$

因此，解集由有序对 (2,1) 组成，它是两个线性函数的交点，如下图所示

消元法

消元法通常简称为代入法。在代入法中，将一个方程中的一个未知量用另一个未知量（或未知量）表示。然后，将第一个未知量的表达式代入其他方程中，以消去它，使方程只包含其他未知量。如果方程是独立的，那么得到的方程应该比原来少一个未知量。对于一个原始的包含两个方程和两个未知量的系统，得到的方程将只有一个未知量，可以很容易地求解。对于包含多个方程和未知量的系统，重复使用消元法，直到得到一个包含一个未知量的方程。然后可以求解这个未知量，并将求解的值代入其他方程，得到一个包含一个未知量的系统。消元法将继续进行，直到所有未知量都被求解出来。

如果一个系统有两个相关的方程，那么使用代入法将会同时消去两个未知量，或者得到一个不能得到单个值的方程。如果方程是平行线，并且是不一致的，那么可能会得到一个矛盾的方程。

例：用代入法求解以下包含两个方程和两个未知量 x 和 y 的系统。

$x-y=-1\$

$x+2y=-4\$

解：我们可以从求解第一个方程中的 x 或 y 关于另一个未知量开始。让我们从求解第一个方程中的 x 关于 y 开始。

$x=y-1\$

接下来，我们代入这个 x 的表达式到另一个方程，以消去 x。

$(y-1)+2y=-4\$

$3y-1=-4\$

我们消去了 x，现在我们得到一个只有 y 的方程。现在我们在这个方程中求解 y。

$3y=-4+1=-3\$

$y=-3/3=-1\$

我们发现 y 的解是 -1。我们将 y 的值代入我们之前从第一个方程得到的 x 关于 y 的表达式中。

$x=y-1=-1-1\$

最后，我们计算 x 的值。

$x=-2\$

因此，解集包含有序对 (-2,-1)，它是两个线性函数的交点，如图所示。

平行线和垂直线的斜率

• 在二维笛卡尔坐标系中，相关的线性函数或其图像是平行线，将具有相同的斜率。反之，具有相同斜率的线性函数要么相关，要么在其图像是二维笛卡尔坐标系中的平行线。当然，一般形式为 x=c 的垂直平行线不是函数，没有定义的斜率。

本段话自相矛盾。应该重新措辞。

• 在二维笛卡尔坐标系中，两条垂直的直线将在它们相交的点上相互形成直角（90° 角）。当两条线性函数的斜率（其图像是垂直的直线）相乘时，两个斜率的乘积等于 -1。反之，如果两个线性函数的斜率相乘得到的乘积等于 -1，那么它们的图像是二维笛卡尔坐标系中的垂直线。

换句话说，如果两条垂直线分别具有斜率 m₁ 和 m₂，那么

$m_{1}m_{2}=-1\$ .

如果一对垂直线由一条水平线（形式为 y = c）和一条垂直线（形式为 x = c）组成，那么前面的规则不适用。垂直线没有斜率，水平线的斜率 = 0。

示例：求与 y = (1/2)x – 3 在 (4,-1) 处相交且垂直于它的 [新] 直线的斜截式。

解：首先，根据给定直线的斜率求出新直线的斜率。设 m = 新直线的斜率。

$\left({\frac {1}{2}}\right)m=-1$

$2\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)m=2\cdot (-1)$

$m=-2\$

新直线的斜截式将为

$y=-2x+b\$

其中 b 是新直线的 y 轴截距。接下来，使用交点 (4,-1) 和新的斜率 -2 求解新直线的 y 轴截距。将 x = 4 和 y = -1 代入上式，并求解 b。

$-1=-2\cdot 4+b\$

$-1=-8+b\$

$b=-1+8=7\$

最后，新的垂直直线的斜截式为 

$y=-2x+7\$ .

显示上述示例中垂直直线的图表。

求解包含二元二次方程的联立方程组

求解非线性联立方程组时，应使用代入法，除非其他方法（如图形法）能快速提供清晰简单的解（在这种情况下，它们比代入法更快）。

示例：求解联立方程组。

$y^{2}+(2x+3)^{2}=10\$

$2x+y=1\$

使用第二个方程，将一个给定项（这里应使用 2x）作为主语。

$2x=1-y\$

将第三个方程代入第一个方程，通过对所得简化后的单变量二次方程进行因式分解，可以找到解。

$y^{2}+((1-y)+3)^{2}=10\$

$y^{2}+(4-y)^{2}=10\$

$2y^{2}-8y+16=10\$

$y^{2}-4y+3=0\$

$(y-1)(y-3)=0\$

因此我们知道 $y=1\$ 或 $y=3\$

然后，我们计算出两种可能性：$y=1\$，$x=0\$ 或；$y=3\$，$x=-1\$

使用图形计算器求解联立方程组

TI-83（Plus）和 TI-84 Plus

1. 按下 “Y=”
2. 输入两个关于 Y 的方程
3. 按下 “GRAPH”
4. 如果所有交点都不可见，请按 “ZOOM” 然后 0 或选择 “0: ZoomFit”
5. 按下 “2nd” 然后 “TRACE”
6. 按下 5 或选择 “5: intersect”
7. 将光标移动到其中一个交点。 （可能只有一个）每个点都代表方程组的一个解。
8. 按下 “ENTER” 三次
9. 交点的坐标显示在屏幕底部。 对其他解重复步骤 5-8。

TI-89（Titanium）

通过图形

1. 按下绿色 “菱形键”，位于 “2nd” (蓝色) 按钮正下方。
2. 按照上面列出的步骤 2-5 进行操作。 要访问 “Y=” 和 “GRAPH”，请按绿色 “菱形键”，然后按 F1 (它激活三级功能 “Y=”) 和 F3 ( “GRAPH”)。 要访问 “ZOOM” 和 “TRACE”，请分别按 F2 和 F3 (菱形功能激活)。 对于 “ZoomFit”，请按 F2，然后 “ALPHA” (白色)，然后 “=” (用于 A)。
3. 要定位交点，请手动使用方向键 (箭头键)，或按 F5 进入 “Math”，然后按 5 进入 “Intersection”。 （但是，第二个选项更难使用；建议手动搜索和缩放。）
4. 坐标将显示在屏幕底部。 重复步骤 2 和 3 直到找到所有需要的解。 对于新的或额外的方程，请返回到上述的 “Y=”。

通过联立方程求解器

注意：这是 TI-89 Titanium 上的默认应用程序。 如果你使用的是 TI-89 或不再有 Solver，请访问 德州仪器网站 免费下载。

1. 在 APPS 屏幕上，选择 “Simultaneous Equation Solver” 并按下回车键。 当下一个屏幕出现时，按下 “3”。
2. 输入要解的方程数量和相应的解数量。
3. 两个方程同时以 2 x 3 矩阵的形式表示 (假设你正在解两个方程并寻找两个解。 矩阵的大小取决于你想解的方程数量)。 在相应的框中，输入方程的系数/常数，每次提交一个值后按 “ENTER”。 （请记住，所有方程都必须先转换成标准形式 - Ax + By = C -！）
4. 输入所有值后，按 F5 求解。